Решение дифференциальных уравнений и систем уравнений с операционным исчислением

3. Решение дифференциальных уравнений с помощью интеграла Дюамеля.

Задано дифференциальное уравнение с нулевыми начальными условиями.

Известно решение уравнения  при . Надо, используя это решение, найти решение для произвольной правой части.
(7)
Следовательно,  . Отсюда по формуле интеграла Дюамеля
. Для вычисления выбирается одна из этих формул.

4. Решение систем дифференциальных уравнений методом операционного исчисления.

Задана система дифференциальных уравнений. Надо решить задачу Коши.

Матричный способ решения. Применим к обеим частям преобразование Лапласа


Теперь надо найти оригинал  для вектора .

Координатный способ решения. Если обратную матрицу считать сложно, то можно применить преобразование Лапласа к каждому из уравнений системы, получить систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений координат вектора  , решить ее. Затем надо найти оригиналы координат вектора.
Примеры.

1. 
   
   

Матричный способ



- три раза применена теорема об интегрировании оригинала,

2. 
   
   

Координатный способ.
,




5. Литература

• 
  Деч Г. Преобразование Лапласа. — 1971. — С. 288.
  

• 
  Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление. — 1975. — С. 408.
  

• 
  Штокало И. З. Операционное исчисление. — 1972. — С. 304.
  

• 
  Эйдерман В. Я. Операционное исчисление. — «Физматлит», 2002. — С. 256. — ISBN 5-9221-0283-4.
  

• 
  Пантелеев А. В., Якимова А. С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах : учебное пособие. — «Выс. шк.», 2001. — С. 445. — ISBN 5-06-004135-2.