Решение дифференциальных уравнений и систем уравнений с операционным исчислением
Решение дифференциальных уравнений и систем методом операционного исчисления
Download 353.51 Kb.
|
Решение дифференциальных уравнений и систем уравнений с операционным
2. Решение дифференциальных уравнений и систем методом операционного исчисления.Операционное исчисление — один из наиболее экономичных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и пользуется большой популярностью у инженеров. Метод был предложен известным американским электротехником и физиком О. Хевисайдом (1892 г.). Он предложил формальные правила обращения с оператором d dx и некоторыми функциями от этого оператора, используя которые решил ряд важнейших задач электродинамики. Однако операционное исчисление не получило в трудах О. Хевисайда математического обоснования («его математика возникала в физическом контексте, из которого ее нелегко было выделить», многие его результаты оставались недоказанными. Лишь в 20-е годы XX века метод получил обоснование в работах Бромвича (T. J. I’A. Bromwich) и Карсона (J. R. Carson). При решении дифференциальных уравнений и систем используется теорема о дифференцировании оригинала и ее следствие – теорема об изображении n-ой производной. Метод решения основан на том, что преобразование Лапласа сводит дифференцирование в пространстве оригиналов к умножению на p в пространстве изображений. Поэтому дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами в пространстве оригиналов переходит в алгебраическое уравнение в пространстве изображений. При этом учитываются и начальные условия, что удобно при решении задачи Коши. Получив решение алгебраического уравнения в пространстве изображений, мы получаем решение в виде некоторого изображения – функции от p. Остается найти соответствующий ему оригинал по свойствам преобразования Лапласа (теоремам подобия, смещения, запаздывания, дифференцирования и интегрирования) или теоремам разложения. Пусть задано дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами относительно неизвестной функции и ее производных с правой частью – функцией , являющейся оригиналом (1) Требуется решить задачу Коши для этого уравнения при начальных условиях (2) Применим преобразование Лапласа к обеим частям равенства. (3) Приведем коэффициенты при в левой части и перенесем члены, зависящие от начальных условий, в правую часть. (4), где - характеристический многочлен, (5) Найдем изображение решения (6) Здесь первое слагаемое дает вклад правой части в решение, второе слагаемое – вклад начальных условий. Если начальные условия нулевые, то и второе слагаемое пропадает. Примеры.
, Первые два слагаемых соответствуют , оригинал для третьего слагаемого находим по теореме об интегрировании оригинала: . . по теореме о дифференцировании изображения. . Если свертку вычислить трудно, то можно найти оригинал для последнего слагаемого по теореме разложения. = . Download 353.51 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling