Решение. Имеем последовательно: Положнв, перепишем уравнение (5) в виде

P е ш е н и е. Выполним некоторые преобразования:

Положим . Тогда и уравнение принимает вид:

и далее , где . Так как , а , то получаем систему

откуда находим: т. е.
Решив эту систему, получим следующие решения заданного уравнения:

П р и ме р 6. Решим уравнение

Р е ш е н и е. Имеем последовательно:

Положнв , перепишем уравнение (5) в виде

T. e.

Рассмотрим функцию . Здесь , т. е. . Значит, . Найдем наименьшее значение функции на промежутке .
Имеем . Ясно, что на рассматриваемом отрезке , т. е. , а потому функция убывает на . Значит, , т. е. левая часть уравнения (6) удовлетворяет неравенству . В то же время правая часть уравнения (6) удовлетворяет неравенству . 3начит, каждая из частей уравнения (6) равна 7,5 , т. е. мы приходим к системе уравнений
откуда или
Из уравнения получаем:

B итоге находим следующие решения заданного уравнения:

р и м е р 7. Решим систему уравнений

Р е ш е и е. Выполним некоторые преобразования первого уравнения системы:

, . Это уравнение равносильно системе уравнений

Уравнение сводится к совокупности уравнений: или . В первом случае , во втором . Значит, система (8) равносильна совокупности двух систем:

Из первой системы находим
T. e.

И3 второй системы находим
откуда

или

Пары, задаваемые условиями (9), (10), (11) - решения системы (8). Воспользовавшись теперь тем, что , получаем решения системы :

П р и м е р 8. Решим неравенство

Р е ш е н и е. Преобразуем неравенство к виду

и возведем обе.его части в квадрат, учтя при этом, что (область определения) и (по смыслу неравенства (13)). Получим систему неравенств, равносильную неравенстBy (13):

Из третьего неравенства последовательно получаем:

Отсюда, в частности, следует, что . Поскольку из второго неравенства системы (14) следует, что , нам остается лишь сделать очевидный вывод: .
Итак, системе (14) может удовлетворять лишь значение . При этом значении система (14) принимает вид:

что выполняется одновременно лишь при .
Итак, - единственное решение неравенства (12).
р и м е р 9. Решим неравенство

P е ш е н и е. Так как функция определена лишь для , то , т. е.

Так как , то из двойного неравенства (16) следуet, что

На промежутке функция возрастает, значит, , т. е. на этом отрезке , а значит, . В то же время функция по определению принимает значения из отрезка т. е.

Итак, в левой части неравенства (15) содержится сумма двух неотрицательных выражений и . Значит, неравенство (15) может выполняться лишь в случае, когда каждое из указанных выражений обращается в нуль: