Решение По правилу треугольника. Складывая эти равенства, получаем

Задача 5. Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями АВ₁ и ВС₁ смежных граней АА₁В₁В и ВВ₁С₁С куба ABCDA₁B₁C₁D₁, если ребро этого куба равно 12.
Решение. Введем векторы:  (рис.5). Тройку  некомпланарных векторов  примем в качестве базиса и разложим векторы  по векторам этого базиса. Имеем:


Рис. 5
Пусть отрезок МН — общий перпендикуляр прямых АВ₁ и ВС₁ (Н АВ₁, М ВС₁). Тогда длина отрезка МН равна расстоянию между этими прямыми:ρ(АВ₁; ВС₁) = | МН |.
Так как точка Н лежит на диагонали АВ₁, то векторы  коллинеарны, поэтому существует такое число х, что

Аналогично, в силу коллинеарности векторов  существует такое число у, что

По правилу ломаной находим:

Значения х и у найдем из условия:
(1)
Учитывая, что базисные векторы  попарно взаимно перпендикулярны и длина каждого из них равна 12, имеем: 
Получаем:

Таким образом, система векторных равенств (1) равносильна системе уравнений  решением которой является: 
Тогда 
Значит, 
Ответ: