Решение. Разделим обе части уравнения на произведение

911 -22 guruh talabasi Abdullayeva Maftuna
21 bet
4 § . УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯющимися ПЕРЕМЕННЫМИ И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ
Дифференциальное уравнение вида называетс я уравнением с разделенными переменными.

Уравнение вида

в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на мно- жители, зависящие только от х и только от у, называется уравнени- ем с разделяющимися переменными. Путем деления на произведение ф.(у)Ф2(х) оно приводится к

уравнению с разделенными переменными;

Общий интеграл этого уравнения имеет ви

Замечание. Деление на может привести к потере частных решений, обращающих в ноль произведение Ф. (у) фа(х). Дифференциальное уравнение вида

где а, b и с- постоянные, заменой переменных z=ax+by+с преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 1. Решить уравнение

Решение. Разделим обе части уравнения на произведение

Получили уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, найдем

После потенцирования получим

Откуда

Обозначая , будем иметь
или
Мы получили общий интеграл данного уравнения. При делении на произведение tg y. (2-e*) предполагалось, что ни один из множителей не обращается в ноль. Приравняв каждый множитель нулю, получим соответственно

Непосредственной подстановкой в исходное уравнение убежда емся, что и являются решениями этого уравнения. Они могут быть формально получены из общего интеграла при С=0 и С=∞. Последнее означает, что постоянная С заменяется через 1/С2, после чего общий интеграл примет вид
или
Полагая в последнем равенстве С2=0, что соответствует С=∞, бу дем иметь, что (2-ex) 3-0, откуда и получаем решение x-in 2 ис- ходного уравнения. Итак, функции у=k, k=0, ±1, ±2, и x=ln 2 являются частными решениями данного уравнения. Поэтому окончательный ответ будет тамым: tgy-C (2-e) = 0,
Пример 2. Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее начальному условию.
Решение. Имеем