Решение. Разделим обе части уравнения на произведение

Разделяя переменные, получаем

Интегрируя, найдем общий интеграл

Полагая в (1) х=0 и у= 1, будем иметь 1/2 =ln2 + С, откуда С = 1/2 - In 2, Подставляя в (1) найденное значение С, получаем частное ре- шение
*. откуда
Из начального условия следует, что у>0 поэтому перед корнем берем знак плюс. Итак, искомое частное решение


Пример 3. Найти частные решения уравнения y' sin xylny, удовлетворяющие начальным условиям:
а) b)

Решение. Имеем

Разделяем переменные

Интегрируя, найдем общий интеграл

После потенцирования получим
, или
что является общим решением исходного уравнения.
а) Положим х= π/2, у=е, тогда откуда С=1.Иско-
мое частное решение ;

б) полагая в общем решении ,y=1 будем иметь

1= откуда С=0. Искомое частное решение y=1
Заметим, что в процессе получения общего решения постоянная С входила под знак логарифма, и, значит, С=0 следует рассматри- вать как предельное значение. Это частное решение у=1 содержит ся среди нулей произведения у ln y sin x, на которое мы делили обе части данного уравнения.
23
Пример 4. Найти такую кривую, проходящую через точку (0, -2), чтобы тангенс угла наклона касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки,
увеличенной на 3 единицы.
Решение. Исходя из геометрического смысла первой произ- водной, получаем дифференциальное уравнение семейства кривых, удовлетворяющих требуемому в задаче свойству, а именно

Разделяя переменные и интегрируя, получаем общее решение

(2)
Так как искомая кривая должна про- ходить через точку (0, -2), т. е. х=-2, то из (2) при х=0 полу- чаем -2=С-3, откуда С=1. Иско- мая кривая определится уравнением

Пример 5. Найти кривую, обла- дающую тем свойством, что длина ее дуги, заключенной между какими-ли- бо двумя точками Р и Q, пропорцио- нальна разности расстояний точек Р и Q от неподвижной точки О. Решение. Если фиксировать точку Р, то дуга QP будет из- меняться пропорционально разности ОQ и постоянной ОР. Введем полярные координаты, беря точку О за полюс и ОР - за полярную ось (рис. 11). Дифференциал дуги кривой в полярных координатах

Отсюда для нашей задачи имеем
или Интегрируя, находим (логарифмическая спираль).
Пример 6. Допустим, что при постоянной температуре скорость растворения твердого тела в жидкости пропорциональна количеству этого вещества, еще могущего раствориться в жидкости до насыще ния последней (предполагается, что вещества, входящие в раствор, химически не действуют друг на друга, и раствор далек еще от на- сыщения, так как иначе линейный закон для скорости растворения неприменим). Найти зависимость количества растворившегося веще ства от времени.
Решение. Пусть Р - количество вещества, дающее насыщенный раствор, их количествоУже
растворившегося вещества. Тогда получаем дифференциальное уравнение

где k - известный из опыта коэффициент пропорциональности, а t- время. Разделяя переменные, найдем

Интегрируя, получаем
откуда
В начальный момент t=0 имеем х=0, поэтому С=-Р, так что окончательно

Пример 7. В цилиндрическом сосуде объемом V. заключен ат- мосферный воздух, который адиабатически (без обмена тепла с окружающей средой) сжимается до объема 1. Вычислить работу
сжатия.
Решение. Известно, что адиабатический процесс характеризуется уравнением Пуассона
(3)
где Ѵ - первоначальный объем газа, р. - первоначальное давление газа, к - постоянная для данного газа величина. Обозначим через Ѵ и р соответственно объем и давление газа в тот момент, когда поршень находится на высоте й, а через S - площадь поршня. Тогда при опускании поршня на величину dh объем газа уменьшится на величину. При этом будет выполнена работа
dh или (4)
Находя р из (3) и подставляя в (4), получаем дифференциальное уравнение процесса

Интегрируя это уравнение, будем иметь

Согласно начальному условию из (5) получим

Таким образом, работа адиабатического сжатия (от до V) будет

При Ѵ=V, получаем

Пример 8. Найти решение уравнения
(6)
удовлетворяющее условию
при
Решение. Разделяя переменные и интегрируя, найдем общий интеграл уравнения (6):

Условие (7) дает т. е. С=0, так что частный интеграл будет иметь вид cos y=1/x². Ему соответствует бесконечное множество частных решений вида
n=0, , , …
Среди этих решений имеется только одно, удовлетворяющее условию (7). Это решение найдем, переходя к пределу при х→ равен стве (8):
или
Откудa
(9)

Нетрудно видеть, что уравнение (9) имеет два кория:n=0 и ,причем корень n=1/2

отвечающий знаку минус перед arccos
не подходит (п должно быть целым или нулем). Таким образом, искомое частное решение уравнения (6) будет

Проинтегрировать уравнения:
46
47. (1+ y²) dx + xy dy = 0.
48. ,
49. (1 + y³) dx= xdy.
50,
51
52
53. yln y dx + xdy=0
54.
55
56
57
58
59
60.
61.
62
63.
64.
65. Найти такую кривую, проходящую через точку (0, -2), чтобы угловой коэффициент касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличен- ной в три раза.
66. Найти кривую, для которой площадь Q, ограни- ченная кривой, осью Ох и двумя ординатами X=0, Х=х, является данной функцией от у: Q=a*a*ln (y/a). 67. Материальная точка массой в 1 г движется пря
молинейно под действием силы, прямо пропорциональ- ной времени, отсчитываемому от момента t=0, и об- ратно пропорциональной скорости движения точки. В момент 1-10 с скорость равнялась 50 см/с, а сила- 4 дин. Какова будет скорость спустя минуту после на- чала движения?
68. Доказать, что кривая, обладающая тем свойст- вом, что все ее нормали проходят через постоянную точ- ку, есть окружность.
69. Пуля входит в доску толщиной h=10 см со ско- ростью v-200 м/с, а вылетает из доски, пробив ее, со скоростью v1—80 м/с. Считая, что сила сопротивления доски движению пули пропорциональна квадрату ско- рости движения, найти время движения пули через доску.
70. Корабль замедляет свое движение под действи ем силы сопротивления воды, которое пропорциональ- но скорости корабля. Начальная скорость скорость корабля 10 м/с, скорость его через 5 с станет 8 м/с. Когда скорость уменьшится до 1 м/с?
71. Доказать, что кривая, угловой коэффициент ка- сательной которой в любой точке пропорционален абсциссе точки касания, есть парабола.
72. По закону Ньютона скорость охлаждения како го-либо тела в воздухе пропорциональна разности меж ду температурой 7 тела и температурой воздуха То. Если температура воздуха равна 20°С и тело в тече ние 20 мин охлаждается от 100 до 60°, то через сколь-ко времени его температура понизится до 30°?
73. Найти кривую, для которой угловой коэффициент касательной в какой-либо точке в п раз больше уг-
лового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат.
74. Определить путь S, пройденный телом за время 4. если его скорость пропорциональна проходимому пу- ти и если тело проходит 100 м в 10 си 200 м в 15 с.
75. Дно резервуара, вместимость которого 300 л, покрыто солью. Допуская, что скорость растворения сoли пропорциональна разности между
концентрацией в данный момент и концентрацией насыщенного раствора (1 кг соли на 3 л воды) и что данное количество чистой воды растворяет 1/3 кг соли в одну минуту, найти, сколько соли будет содержать раствор по истечении 1 ч.
76. Некоторое количество нерастворимого вещества содержит в своих порах 10 кг соли. Подвергая его дей- ствию 90 л воды, нашли, что в течение 1 ч растворилась половина содержавшейся в нем соли. Сколько соли раcтворилось бы в течение того же времени, если бы количество воды было удвоено? Скорость растворения пропорциональна количеству нерастворимой соли и раз- ности между концентрацией раствора в данный момент и концентрацией насыщенного раствора (1 кг на 3 л). 77. Найти кривую, обладающую тем свойством, что
отрезок касательной к кривой, заключенный между ося ми координат, делится в точке касания пополам.
78. Некоторое количество вещества, содержащее 3 кг влаги, было помещено в комнате вместимостью 100м³, воздух которой первоначально имел влажность 25%. Насыщенный воздух при той же температуре содержит 0,12 кг влаги на 1 м³. Если в течение первых су- ток вещество потеряло половину своей влаги, то сколь- ко влаги в нем останется по истечении вторых суток?

Указание. Влага, содержащаяся в пористом веществе, испаряется в окружающее пространство со скоростью, пропорциональной.