Решение задач по высшей математике на заказ идз 2

Наш сайт: 

Fizmathim.ru

 

Группа ВКонтакте 

https://vk.com/fizmathim_resh

 

Перейти на 

Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

   

 

Решение задач по высшей математике на заказ 

 

 

 

 

 

 

      ИДЗ 1.2 – Вариант 0 

 

1. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по 

формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса. 

 

1.0    































2

x

2

x

3

x

2

x

x

4

1

x

x

4

x

3

3

1

3

2

1

3

2

1

 

Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера – Капели. С помощью элементарных 

преобразований найдем ранг матрицы 

 

 

























2

0

1

2

1

4

1

4

3

A

 

данной системы и ранг расширенной матрицы 

 

 





























2

3

1

2

0

1

2

1

4

1

4

3

B

 

Разделим первую строку на 3. Умножим первую строку на -4 и сложим со второй, первую умножим на -

1 и сложим с третьей. Разделим вторую строку на 19/3. Умножим вторую строку на (-4/3) и сложим с 

третьей строкой 

 

















































































































































































57

153

19

5

3

1

57

87

0

0

19

2

1

0

3

1

3

4

1

~

3

7

19

5

3

1

3

5

3

4

0

19

2

1

0

3

1

3

4

1

~

3

7

3

5

3

1

3

5

3

4

0

3

2

3

19

0

3

1

3

4

1

~

2

3

3

1

2

0

1

2

1

4

3

1

3

4

1

~

2

3

1

2

0

1

2

1

4

1

4

3

B

 

Следовательно, 

3

rangB

rangA





 (т.е. числу неизвестных). Значит исходная матрица совместна и имеет 

единственное решение. 

 

а) по формулам Крамера 

Найдем определитель



 по правилу треугольника: 





11

32

23

33

21

12

31

22

13

13

32

21

31

23

12

33

22

11

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

































 

Найдем определитель



 и значения 

1

x



,

2

x



,

3

x



 









29

32

0

1

0

8

6

2

4

)

4

(

0

2

3

1

1

1

0

4

1

1

2

)

4

(

2

1

3

2

0

1

2

1

4

1

4

3





























































 





44

24

0

2

0

16

2

2

0

2

2

1

3

1

4

1

x

1





























 





13

8

12

3

8

2

18

2

2

1

2

3

4

1

1

3

x

2





























 

Наш сайт: 

Fizmathim.ru

 

Группа ВКонтакте 

https://vk.com/fizmathim_resh

 

Перейти на 

Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

   

 

Решение задач по высшей математике на заказ 

 





51

32

0

1

0

12

6

2

0

1

3

1

4

1

4

3

x

3



























 

Формулы Крамера 

29

51

x

29

13

x

29

44

x

x

x

x

x

x

x

3

2

1

3

3

2

2

1

1





























 

б) с помощью обратной матрицы (матричным методом) 

Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в 

матричной форме 

B

AX



. Решение системы в матричной форме имеет вид 

B

A

x

1





 По формуле 



























33

23

13

32

22

12

31

21

11

1

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

1

A

 находим обратную матрицу 

1

A



 (она существует, так как 

0

29

A











 

Находим матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы: 

 

 

 

 

 

 

4

)

4

0

(

0

1

4

3

1

A

1

1

0

0

1

1

4

1

A

5

1

6

2

1

1

3

1

A

6

)

2

8

(

2

1

2

4

1

A

8

)

0

8

(

2

0

1

4

1

A

2

0

2

2

0

2

1

1

A

5

23

4

13

4

22

3

12

3

21

2

11



























































































 

 

 

 

19

16

3

1

4

4

3

1

A

2

)

4

6

(

2

4

1

3

1

A

9

1

8

2

1

1

4

1

A

6

33

5

32

4

31

















































 

Таким образом получаем матрицу: 































19

2

9

4

5

8

1

6

2

 

Полученную матрицу транспонируем: 































































19

4

1

2

5

6

9

8

2

19

2

9

4

5

8

1

6

2

T

 

Тогда решение системы: 







































































































































































































29

51

29

13

29

44

51

13

44

29

1

2

19

)

3

(

)

4

(

)

1

(

1

2

)

2

(

)

3

(

5

)

1

(

6

2

)

9

(

)

3

(

8

)

1

(

2

29

1

2

3

1

19

4

1

2

5

6

9

8

2

29

1

x

x

x

X

3

2

1

 

Итак,   

29

51

x

29

13

x

29

44

x

3

2

1











 

 

 

Наш сайт: 

Fizmathim.ru

 

Группа ВКонтакте 

https://vk.com/fizmathim_resh

 

Перейти на 

Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

   

 

Решение задач по высшей математике на заказ 

 

в) методом Гаусса 































2

x

2

x

3

x

2

x

x

4

1

x

x

4

x

3

3

1

3

2

1

3

2

1

 

Напишем матрицу системы: 



























2

3

1

2

0

1

2

1

4

1

4

3

 

Тогда 





















































































































































































57

153

19

5

3

1

57

87

0

0

19

2

1

0

3

1

3

4

1

~

~

II

3

4

III

3

7

19

5

3

1

3

5

3

4

0

19

2

1

0

3

1

3

4

1

~

3

19

/

3

7

3

5

3

1

3

5

3

4

0

3

2

3

19

0

3

1

3

4

1

~

I

III

I

4

II

2

3

3

1

2

0

1

2

1

4

3

1

3

4

1

~

3

/

2

3

1

2

0

1

2

1

4

1

4

3

 

Выпишем систему уравнений: 

































57

153

x

57

87

19

5

x

19

2

x

3

1

x

3

1

x

3

4

x

3

3

2

3

2

1

 

Находим значения x

1

, x

2

, x

3

 

29

44

87

132

87

51

52

29

29

17

87

52

3

1

x

3

1

29

51

3

1

29

13

3

4

x

29

13

551

247

551

102

145

551

102

19

5

x

19

5

29

51

19

2

x

29

51

87

57

57

153

x

1

1

2

2

3



















































































 

Итак, 

29

51

x

29

13

x

29

44

x

3

2

1











 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наш сайт: 

Fizmathim.ru

 

Группа ВКонтакте 

https://vk.com/fizmathim_resh

 

Перейти на 

Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

   

 

Решение задач по высшей математике на заказ 

 

 

 

2. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по 

формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса. 

 

2.0    





























2

x

x

4

x

3

5

x

4

x

x

2

4

x

3

x

5

x

3

2

1

3

2

1

3

2

1

 

Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера – Капели. С помощью элементарных 

преобразований найдем ранг матрицы 

 

 



























1

4

3

4

1

2

3

5

1

A

 

данной системы и ранг расширенной матрицы 

 

 



























2

5

4

1

4

3

4

1

2

3

5

1

B

 

Умножим первую строку на (-2) и сложим со второй, умножим первую строку на (-3) и сложим с 

третьей. Умножим вторую строку на (-1) и сложим с третьей строкой 

 





















































































7

3

4

0

0

0

10

11

0

3

5

1

~

10

3

4

10

11

0

10

11

0

3

5

1

~

2

5

4

1

4

3

4

1

2

3

5

1

B

 

Теперь ясно, что rangA=2, rangB=3. Согласно теореме Кронекера – Капели, из того, что 

rangB

rangA



, 

следует несовместность исходной матрицы (не имеет решений). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наш сайт: 

Fizmathim.ru

 

Группа ВКонтакте 

https://vk.com/fizmathim_resh

 

Перейти на 

Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

   

 

Решение задач по высшей математике на заказ 

 

3. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений. 

3.0      





























0

x

5

x

2

x

0

x

3

x

x

2

0

x

x

x

3

3

2

1

3

2

1

3

2

1

 

 

Найдем определитель



 по правилу треугольника: 





11

32

23

33

21

12

31

22

13

13

32

21

31

23

12

33

22

11

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a





































 

 

Определитель системы  









15

10

18

1

4

3

15

)

5

(

2

1

2

3

3

1

)

1

(

1

2

2

1

1

3

1

)

5

(

)

1

(

3

5

2

1

3

1

2

1

1

3







































































 

Так как 

15





поэтому система имеет единственное нулевое решение: 

0

x

x

x

3

2

1







   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наш сайт: 

Fizmathim.ru

 

Группа ВКонтакте 

https://vk.com/fizmathim_resh

 

Перейти на 

Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

   

 

Решение задач по высшей математике на заказ 

 

4. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений. 

4.0      





























0

x

x

6

x

7

0

x

4

x

3

x

3

0

x

5

x

3

x

4

3

2

1

3

2

1

3

2

1

 

Найдем определитель



 по правилу треугольника: 





11

32

23

33

21

12

31

22

13

13

32

21

31

23

12

33

22

11

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a





































 

 

Определитель системы  









0

9

96

105

90

84

12

)

1

(

3

)

3

(

)

6

(

4

4

7

)

3

(

5

)

6

(

3

)

5

(

7

4

)

3

(

)

1

(

)

3

(

4

1

6

7

4

3

3

5

3

4























































































 Так как 

0





то система имеет бесчисленное множество решений. Поскольку rangA=2, n=3, возьмем любые два 

уравнения системы (например, первое и второе) и найдем ее решение 

 

Имеем: 

 



















0

x

4

x

3

x

3

0

x

5

x

3

x

4

3

2

1

3

2

1

 

Так как определитель из коэффициентов при неизвестных x

1

 и x

2

 не равен нулю, то в качестве базисных 

неизвестных возьмем x

1

 и x

2

 и переместим члены с x

3

 в правые части уравнений: 

 

















3

2

1

3

2

1

x

4

x

3

x

3

x

5

x

3

x

4

 

Решаем последнюю систему по формулам Крамера 

 

2

)

1

(

2

1

x







,  

2

)

2

(

2

2

x







 

где      

3

9

12

3

3

3

4

2



















 

3

3

3

3

3

)

1

(

2

x

27

x

12

x

15

3

x

4

3

x

5























 

3

3

3

3

3

)

2

(

2

x

31

x

15

x

16

x

4

3

x

5

4

















 

Отсюда находим, что 

3

x

27

x

3

1









,       

3

x

31

x

3

2







 

Полагая 

k

3

x

3





, где k – произвольный коэффициент пропорциональности, получаем решение 

исходной системы: 

 

k

3

x

;

k

31

x

;

k

27

x

3

2

1











