Respublikasi oliy ta’lim fan va innovatsiyalar vazirligi

Uzluksiz funksiyalarning xossalari
Nuqtada uzluksiz funksiyalarning xossalari

1. 
   teorema (uzluksiz funksiyalar ustida arifmetik amallar).
   

f (x) va
g(x)

funksiyalar
x₀ nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda
f (x)  g(x) ,
f (x)  g(x) va

f (x)


g(x)


(g(x₀

)  0)

funksiyalar


x₀ nuqtada uzluksiz bo‘ladi.

Isboti.
f (x) va
g(x)
funksiyalar x₀ nuqtada uzluksiz bo‘lgani uchun ular bu

nuqtada
f (x₀ ) va
g (x₀ ) limitlarga ega. U holda funksiyaning limiti haqidagi

teoremalarga ko‘ra

f (x)  g(x) ,


f (x)  g(x) va
f (x) _(g(x g(x) 0


)  0)

funksiyalarning

x₀ nuqtadagi limitlari mavjud va ular mos ravishda
f (x₀ )  g(x₀ ),
f (x₀ )  g(x₀ ) va

0
f (x₀ ) _(g(x
)  0)) ga teng bo‘ladi. Bu qiymatlar
^{f (x)} va
g(x)

funksiyalarning

g(x₀ )
algebraik yig‘indisi, ko‘paytmasi va bo‘linmasining x₀ nuqtadagi qiymatlaridan

iborat. U holda 1-ta’rifga ko‘ra
f (x)  g(x) ,
f (x)  g(x) va
f (x)


g(x)
(g(x₀
)  0)

funksiyalar
x₀ nuqtada uzluksiz.

Bu teorema chekli sondagi funksiyalarning algebraik yig‘indisi va ko‘paytmasi uchun ham o‘rinli bo‘ladi.

2. 
   teorema (murakkab funksiyaning uzluksizligi).
   

z  (x) funksiya
x₀ ^nuqtada

uzluksiz,
y  f (z)
funksiya esa
z  (x )
nuqtada uzluksiz bo‘lsin. U holda

0 0
y  f ((x))
murakkab funksiya
x₀ ^{nuqtada uzluksiz bo‘ladi.}

IIsboti. z  (x)
funksiya
x₀ ^{nuqtada uzluksizligidan}
z  (x) ,

lim (x)  (x
xx₀ ⁰
) , ya’ni
x  x₀ da
z  z₀
bo‘ladi. Shu sababli
z  (x)

0
funksiyaning uzluksiligidan

lim
xx₀
f ((x))  lim
zz₀
f (z) 
f (z₀ ) 
f ((x ))

kelib chiqadi. Bu bildiradi.
f ((x))
murakab funksiyaning
x₀ ^{nuqtada uzluksizligini}

2. 
   teorema yordamida (3.5.2) tenglikni quyidagicha umumlashtirish mumkin.
   

Agar
z  (x)
funksiya
x₀ ^nuqtada A ^{limitga ega bo‘lib,}
y  f (z)
funksiya

z  A ^{nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda}
y  f ((x))
murakkab funksiya uchun

bo‘ladi.
lim
xx₀
f ((x)) 
f (lim (x))
xx₀

Bu tenglik uzluksiz funksiya belgisi ostida limitga o‘tish qoidasini ifodalaydi va funksiyaning limitini topishda foydalaniladi.
Misol

_lim log_a (1  x)


(a  0, a  1)

limitni topamiz:

x0
x
log (1  x) 1 ¹

lim ^a  lim
 log
(1  x)  lim log
(1  x) ^x .

x0 _x
x0 _x ^a
x0 ^a

log_a
1
(1  x) ^x
funksiya
y  log _a z
1
va z  (1  x) ^x
funksiyalarning murakkab

funksiyasi.
1
lim (1  x) ^x x0
 e va
y  log _a z
funksiya
z  e
nuqtada uzluksiz.

U holda (3.5.5) tenglikka ko‘ra
1 _ 1 _
^{lim log (1  x) x  log} ^{lim (1  x) x}  ^{ log e.}

x0 ^a
a _ x0 _ ^a

Butun sonlar o‘qida aniqlangan
f (x)  C
funksiyani qaraymiz.
x₀  R da

lim
xx₀
f (x)  C 
f (x₀
) bo‘ladi (3.41 band, 1-natija). Demak,
f (x)  C o‘zgarmas

funksiya butun sonlar o‘qida, ya’ni o‘zining aniqlanish sohasida uzluksiz.

f (x)  x
funksiya ham butun sonlar o‘qida uzluksiz, chunki
lim x  x .

0
xx₀

Bundan 1-teoremaga ko‘ra
f (x)  x
funksiya ko‘paytmalaridan iborat

y  xⁿ
(n N)
darajali funksiya hamda o‘zgarmas va darajali funksiyalardan

arifmetik amallar orqali hosil qilingan
P (x)  a xⁿ  a x^n1  ...  a x  a

n n n1 1 0

ko‘phad (butun-ratsional funksiya) istalgan
x₀  R
nuqtada uzluksiz bo‘ladi.

Shu kabi yuqorida keltirilgan teoremalar va limitlar haqidagi teoremalar yordamida asosiy elementar funksiyalar o‘zining aniqlanish sohasida uzluksiz bo‘lishini ko‘rsatish va ushbu teoremani isbotlash mumkin.

2. 
   teorema. Asosiy elementar funksiyalar o‘zining aniqlanish sohasidagi barcha nuqtalarda uzluksiz bo‘ladi.
   

1-natija. Elementar funksiyalar o‘zining aniqlanish sohasidagi barcha nuqtalarda uzluksiz bo‘ladi.

0 0
4-teorema. Agar
f (x)
funksiya
x₀ nuqtada uzluksiz va
f (x₀ )  A (

0
f (x )  A) bo‘lsa, u holda shunday 

• 
  0 son topiladiki,
  

x (x   ; x   )

uchun
f (x)  A
( f (x)  A ) bo‘ladi.

Isboti. f (x₀ )  A
h  0 .
bo‘lsin. Aniqlik uchun
f (x₀ )  A  h
deymiz, bu yerda

  ^h
2

son olamiz.

f (x)


funksiyaning



0
x₀ nuqtada uzluksizligidan shunday

  0
son topiladiki, x ning
| x  x | 
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha

qiymatlarida
| f (x) 
f (x₀
) | ^h
2
tengsizlik bajariladi. Bundan
x (x₀
  ; x
  )

0
uchun
f (x) 
f (x
)  ^h  A  h  ^h  A  ^h  A bo‘ladi.

0 2 2 2

f (x₀ )  A
bo‘lsin.

• 
  f (x)
  

funksiyani qaraymiz.
 f (x₀ )  A
bo‘lgani sababli

yuqoridagi isbotga asosan
x₀ nuqtaning
  0
atrofi topiladiki, bu atrofda

• 
  f (x)  A yoki f (x)  A bo‘ladi.
  

5. 
   teorema (uzluksiz funksiya ishorasining turg‘unligi). Agar f (x)
   

funksiya
x₀ nuqtada uzluksiz va
f (x₀ )  0
bo‘lsa, u holda shunday
  0
son

topiladiki,
x (x   ; x   )
uchun
f (x)
funksiya ishorasini saqlaydi, ya’ni

0 0
f (x₀ ) funksiya bilan bir ishorali bo‘ladi.

Teoremaning isboti 4-teoremadan
A  0 da kelib chiqadi.

2. 
   Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari
   

Agar
f (x)
funksiya
(a;b)
nitervalning har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lsa,

u holda u (a;b) intervalda uzluksiz deyiladi.

Agar
f (x)
funksiya
(a;b)
^{intervalda uzluksiz bo‘lib,} a ^{nuqtada o‘ngdan uzluksiz}

va b nuqtada chapdan uzluksiz bo‘lsa, u holda
uzluksizdeyiladi.
f (x)
funksiyaga
[a;b] kesmada

Kesmada uzluksiz funksiyalar bir qancha muhim xossalarga ega. Bu xossalarni teoremalar orqali ifodalaymiz. Bunda teoremalarning isbotini keltirmasdan, faqat geometrik talqinini ko‘rsatish bilan kifoyalanamiz.

5. 
   teorema (Bolsano-Koshining birinchi teoremasi).
   

f (x)
funksiya
[a;b]

kesmada uzluksiz va kesmaning oxirlarida turli ishorali qiymatlar qabul qilnsin.

U holda shunday
c (a;b) nuqta topiladiki, bu nuqtada
f (c)  0
bo‘ladi.

Teoremaning geometrik talqini: uzluksiz funksiyaning grafigi Ox o‘qning bir tomonidan ikkinchi tomoniga o‘tganida Ox o‘qni kesadi (25-shakl).

5. 
   teorema (Bolsano-Koshining ikkinchi
   

teoremasi).
f (x)
funksiya
[a;b]
kesmada

uzluksiz va
f (a)  A,
f (b)  B ,
A  C  B

bo‘lsin. U holda shunday
c[a;b]
nuqta

topiladiki,
f (c)  C
bo‘ladi.

Teoremaning geometrik talqini: uzluksiz funksiya bir qiymatdan ikkinchi qiymatga o‘tganida barcha oraliq qiymatlarni qabul qiladi (26-shakl).

5.