Samarqand dalat universiteti fizika fakulteti nazariy fizika va

Nazorat savollari

1. 
   Barqaror (turg’un) muvozanat holati deganda nimani tushunasiz
   
2. 
   Erkin tebranishlar tenglamasini yozing.
   
3. 
   Kichik tebranishlarda to’la energiya nimaga teng ?
   
4. 
   So’nuvchi tebranishlarda kuch qanday bo’ladi ?
   
5. 
   Davriy tebranishlarda amplitude nimaga teng ?
   
6. 
   Majburiy tebranishni tushuntiring
   
7. 
   Rezonans nima?
   

13. 
    ma’ruza: KO’P ERKINLIK DARAJASIGA EGA BO’LGAN SISTEMADA TEBRANISHLAR
    

REJA

• 
  Bunday sistema uchun Lagranj funksiyasi.
  
• 
  Harakat tenglamasi va uning yechimi.
  
• 
  Normal koordinatalar.
  

TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: Sistemaning erkinlik darajasi soni, sistema potensial energiyasi, sistema kinetik energiyasi, sistema Lagranj funksiyasi, Lagranj tenglamasi.

Sistemaning erkinlik darajasi soni S -ga teng bo’lsin. Bunday sistemaning erkin tebranishlari nazariyasi bir o’lchami tebranishlar nazariyasiga o’xshash

bo’ladi.
Agar sistema potensial energiyasi q_i  q_{i 0} i  1,2,..., S  nuqtasida minimumga

ega bo’lsa,

10. 
     q_i  q_{i 0}
    

kichik siljish kiritib, oldin ko’rganimizdek, potensial

energiyani katorga yoyish asosida yozishimiz mumkin:

^{U  1}  ^k
₂ ik

10. 
    x_k
    

Bu yerda koeffisiyent k indekslar bo’yicha simmetrik bo’ladi:

^kik
 k _ki

1
Shu asosda kinetik energiyani ham
^{T } ₂  ^{mik x}_i ^x_k
Ko’rinishda yozib, Lagranj funksiyasini

2
1

deb yoza olamiz.

^{L }  ^{mik x}_i ^x_k ^{ kik xi xk }
(1)

Harakat tenglamasi va uning yechimi

Lagranj funksiyaning to’liq differensialini yozamiz:

1

2
^{dL }  ^{mik x}_i ^dx_k ^{ mik x}_k ^dx_i ^{ kik xi dxk  kik xk dxi }

i  k
almashtirish o’tkazsak
^{dL }  ^{mik x}_k ^dx_i ^{ kik xk dxi }

Bundan
Lagranj tenglamasi esa


L
x<sup>i


</sup>  ^mik


x^k ,


L
x<sup>i


 </sup> ^{kik xk}

 ^{mik x}_k ^  ^{kik xk  0}
(2)

kabi yoziladi. Bu S -ta chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini olamiz. Ularning umumiy yechimi

k

k
x  A e^{i t}
tariqasida axtaramiz. U holda (2) o’rnida

k

ik
 ^{  2m  k A  0}
ik
(3)

chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini olamiz. Bu sistemaning noldan farqli yechimi

k   m
2
ik ik
determinantning nolga tengligi bilan aniqlanadi:

k   m

 0
2
ik ik
(4)

Bu determinantni ochib chiqsak,  ² -ga nisbatan S -chi darajadagi tenglamani


olamiz. U esa  ²   1,2,..., S  haqiqiy ildizlarga ega bo’ladi. Shu yul bilan

aniqlangan _
kattaliklar sistemasining xususiy chastotalari deyiladi. Topilgan

ildizlarni (3) tenglamaga qo’yib, har bir
_ -ga mos keluvchi A_
koeffisiyentlarni

topamiz. Agar barcha ildizlar bir-biridan farq qiluvchi bo’lsa, A_
ildizlar (4)

aniqlovchining minorlariga proporsional bo’ladi va bu minorda almashtirilgan bo’ladi.
U holda yechim
,_
ildizlarga

k 

k
x   C e^{i t}

bu yerda
C_ -ixtiyoriy koeffisiyent,
 _k - (5) ning minori. Umumiy yechim

_ 

k



k
x  Re^ S  C
_e^i_ ^t _{   }
k^
(5)

 1  
bu yerda
_  ReC_ e^{i t} 
Shunday qilib, sistema koordinatalari har birining vaqt bo’yicha o’zgarishi ixtiyoriy amplitudali va fazali, aniq chastotaga ega bo’lgan S -ta oddiy davriy tebranishlar
₁, ₂ ,..., _S lar to’plamidan iborat bo’ladi.


Normal koordinatalar
Umumlashgan koordinatalarni shunday qilib tanlab olish mumkinki, ularning har biri oddiy bita tebranishni ifodalasin. Haqiqatan, (5) tenglamalar

sistemasini yechib,
₁ , ₂ ,..., _S
kattaliklarni
x₁ , x₂ ,..., x_S
koordinatalar orqali

ifodalash mumkin. Demak, _
kattaliklarga Yangi umumlashgan koordinatalar deb

qarash mumkin. Bu koordinatalar odatda normal koordinatalar deyiladi va ular oddiy tebranishlarni ifodalaydi va qo’yidagi tenglamalarni qanoatlantiradi:


^_   ²_  0
Lagranj funksiyasi esa bu koordinatalarda qo’yidagicha yoziladi:
^{L }  ^{m 2   2 2 }
₂   
Agar _  m_ almashtirish o’tkazsak,
^{L  1}  ^{2   2 2 }
₂   

Mustaqil ishlash uchun savollar:

1. 
   Ko’p erkinlik darajasiga ega bulgan sistemadagi tebranishlar sistemasi uchun Lagranj funksiyasi qanday bo’ladi?
   
2. 
   Harakat tenglamasi va uning yechimini ko’rsating.
   
3. 
   Normal koordinatalarni tushuntiring.
   

13. 
    ma’ruza: NOCHIZIQLI TEBRANISHLAR.
    

REJA

• 
  Adiabatik invariantlar.
  
• 
  Krilov-Bogolyubov uslubi bilan tuzish.
  
• 
  Parametrik rezonans.
  
• 
  Tez tebranib o’zgaruvchi maydondagi harakat.
  

TAYANCH SO’Z VA IBOTALAR: chiziqli bo’lmagan tebranishlar, Krilov-Bogolyubov usuli, chiziqli bo’lmagan tebranishlar. parametrik rezonans, yassi mayatnik, bir o’lchamli harakatda Lagranj funksiyasi.

Ko’pgina mexanik sistemalarda harakat chiziqli bo’lmagan tenglamalar yordamida ifodalanadi. Biz o’tgan temada ana shunday tebranishdan – angarmonik tebranishlarni ko’rgan edik. Odatda bunday tenglamalar chiziqli ko’rinishga keltirilganda ularni tekshrish ancha osonlashadi, ammo bu holda chiziqli bo’lmagan tebranishga xos ko’pgina xusisiyatlar yuqolib ketadi shuning uchun bu tenglamani yechishda bir qancha taqribiy usullar taklif qilingan. Shu usullardan biri Krilov-Bogolyubov usulidir.

Qisqacha mayatnik usulida chiziqli bo’lmagan tenglamalarni qaraymiz.
^  k ² sin   0
Agar tebranish kichik hisoblansa, sin ni  kichik bo’lgani uchun qatorga yoyib

tenglamani
3


sin   
3!
 _ 5
5!
 _ 7
7!
 ...

^  k
² 
_k 2 _ 3

6
 ^k 2  ⁵ 

0
120

ko’rinishda yozishimiz mumkin. Bu esa chiziqli bo’lmagan ifoda etadi. Krilov- Bogolyubov usuli chiziqli bo’lmagan tayenglamalar ekvivalent chiziqlashtirish usuli hisoblanadi.
Chiziqli bo’lmagan tenglama

^x^  k ² x  
f (x, x^)
(1)

ko’rinishga ega bo’lsin. Bu yerda funksiyasi, ^ - kichik parametr.
^{f (x, x)} va
x, x^
larning chiziqli bo’lmagan

Agar   0 bo’lsa (1) tenglama
^x^  k ² x  0

(2)

Chiziqli tenglamaga aylanadi (2) ning yechimi
x  a sin

ko’rinishda beriladi. Bu yerda


 kt   ,  const, a  const

U holda
x^  ak cos

Krilov-Bogolyubov usulining mohiyati shundan iboratki, (1) ning chiziqmastlik darajasi kichik va tebranish garmonik tebranishlarga yaqin deb hisoblanadi. U holda
x  a sin , x^  a cos ,    t  

bo’ladi. Bu yerda
a  a(t),  a(t) vaqtning sekin o’zgaruvchi funksiyasi deb

hisoblanadi. U holda chiziqli bo’lmagan tebranishni ifodalovchi (1) tenglama sistemadagi ishqalanish mavjud bo’lganidagi

^x^  2kx^   ² x  0
Chiziqli tenglamaga ekvivalent bo’ladi. Bu yerda
_ 2
(3)

k  
2a
_ f (a sin , a cos ) cosd
0
(4)

 ²  k ²  ^
a
2
_ f (a sin , a cos ) sind
0

(5)

Biz bilar edikki, (3) ning yechimi
x  a sin , a  Ce^kt ,   

bo’lar edi, (4) da
k ~ 
bo’lgani uchun u kichik son bo’ladi va

bo’ladi. U holda

   t  

^  
Agar ^{a  Cekt} ekanligini hisobga olsak,
a^  kCe^kt  ka
Demak (1) tenglamani integrallash (6) va (7) kabi birinchi tartibli differensial tenglamalarni integrallashga keltiriladi.
Misol:

^  k
²   ³
(  ^k )

2
6

Tenglamani yechaylik. Bu yerda
f (x, x^)   ³

8. 
   ning yechimini
   

tariqasida axtaraniz. ekanligini hisobga olib
2
  a sin,^  a cos
f (a sin, a cos)  a³ sin ³

2

I₁ 


I ₂ 
_ f (a sin , a cos ) cosd
0
2
_ f (a sin , a cos ) sind
0
 a³ _sin ³ cosd
0
2
 a³ _sin ³ sind
0

integrallarni hisoblaymiz. Ko’rsatish mumkunki,

u holda
I₁  0; I ₂
 ³ a³
4

 ²  k ²  ³ a ²

1
4

  

_ 3 a ² <sub>

</sub> 3 a ²

Biz
  ^k 2

6

ekanligini hisobga olsak,

k (1
4 k ^{2 )}
k (1
8 k ^{2 )}

  k (1
_a 2


)
16

U holda (6), (7) tenglamalar quydagicha yoziladi:

a
2
a^  0,^    k (1 ₁₆ )

(9)

Chunki bizda
n  0

8. 
   tenglamalarni integrallaymiz:
   

_C 2

a  C₁
  k (1  ¹ )t  C₂
16

Biz  ning qiymatini
x  a sin
yechimga qo’yib topamiz:

 _C ² 

  C₁ sin_k (1 ¹ )t  C_{2 }
(11)

Agar t  0,  a₀ ,^  0

bo’lsa
_ 16 _

a₀  C₁ sin C₂
0  kC₁ cosC₂
(12)
(13)

ekanligini topamiz. (13) da
k C  0 , damak cosC  0 yoki C  ^
u holda

1 1 2 2 ₂

12. 
    dan C₁  a₀ demak (11) yechim
    

  a cos k (1  ¹ a ² )t
0 ₁₆ 0
ko’rinishga ega bo’ladi.