Самостоятельная работа №1 План: Аксиоматические теории множеств. Нечеткие множества

Нечеткие множества

Нечеткое множество- ключевое понятие нечеткой логики. Пусть Е — универсальное множество, х — элемент Е, a R — некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество А универ­сального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар
А = { μ_A(x) / x },
где μ_А(х) —характеристическая функция, принимающая значе­ние 1, если х удовлетворяет свойству R, и 0 – в противном случае.
Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R. В связи с этим нечеткое подмножество А универсаль­ного множества Е определяется как множество упорядоченных пар
А = { μ_A(x) / x},
где μ_А(х) — характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М = [0, 1]).
Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М назы­вают множеством принадлежностей. Если М = {0, 1}, то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть Е = {x₁, x₂, х_з, x₄,x₅}, М = [0, 1]; А — нечеткое множество, для которого μ_A(x₁)=0,3; μ_A(х₂)= 0; μ_A(х₃) = 1; μ_A(x₄) = 0,5; μ_A(х₅)=0,9.
Тогда А можно представить в виде
А ={0,3/x₁; 0/х₂; 1/х₃; 0,5/х₄; 0,9/х₅},
или
А={0,3/x₁ +0/х₂+1/х₃+0,5/х₄+0,9/х₅},
или

Замечание. Здесь знак «+» не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть М = [0, 1] и А — нечеткое множество с элементами из универсаль­ного множества Е и множеством принадлежностей М.
• Величина  называется высотой нечеткого множества А. Нечеткое множество А нормально, если его высота рав­на 1,т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 (  = 1). При < 1нечеткое множество называется субнормальным.
• Нечеткое множество пусто, если ∀x ϵ E μ_A(x) = 0. Непу­стое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

• Нечеткое множество унимодально, если μ_A(x) = 1 только на одном х из Е.
• Носителемнечеткого множества А является обычное под­множество со свойством μ_A(x)>0, т.е. носитель А = {x/x ϵ E, μ_A(x)>0}.
• Элементы x ϵ E, для которых μ_A(x) = 0,5, называются точками перехода множества А.