Самостоятельная работа по высшей математики на тему: Ряды Тейлора Проверил(а)

Примеры разложения функций в ряд Тейлора по степеням  , когда 
Данное задание является более сложным и встречается значительно реже, но всё-таки 2-3 примера не помешают. Пригодится.
Вытащим из чулана общую формулу Тейлора:

Еще раз повторю, что вместо буквы «а» на практике часто можно встретить букву  .
В чём сложность разложения функции по степеням  при ненулевом значении «а»? Сложность состоит в том, что нам не удастся воспользоваться табличными разложениями, и придётся самостоятельно находить и вычислять производные. Или не придётся. Но сначала разберём универсальный «классический» метод с производными.
Очень хорошо если вы проработали урок Производные высших порядков, впрочем, я постараюсь максимально подробно закомментировать оставшиеся задачи.
И сразу небольшой Пример 8
Разложить функцию  в ряд Тейлора по степеням 
В данном случае  , смотрим на формулу Тейлора, и становится уже всё понятнее.
Теперь предстоит ручная работа по конструированию разложения:







, все производные, начиная с четвёртой производной, будут нулевыми.
Теперь подставляем весь найденный скарб в формулу Тейлора:


Готово. Для проверки можно раскрыть скобки:

Получен исходный многочлен, что и требовалось проверить.
Рассмотрим более содержательные примеры.
Пример 9
Разложить функцию  в ряд Тейлора по степеням  . Найти область сходимости полученного ряда.
Решение: Используем разложение функции в ряд Тейлора по степеням 

Хех, опять предстоит ручная работа….
В данном случае: 





Замечаем, что с такими раскладами производные можно находить до бесконечности. Поэтому необходимо уловить некоторую закономерность. Найдем ещё третью производную:


А теперь проанализируем найденные производные:
,  ,  .
Закономерность прослеживается: знаки чередуются, в числителе накручивается факториал, а в знаменателе растёт степень.
Теперь, исходя из выявленной закономерности, нужно составить производную «энного» порядка. В данном случае она выглядит так:

Как проверить, правильно ли составлена энная производная? Подставьте в неё значения  ,  ,  и у вас должны получиться в точности первая, вторая и третья производные. После того, как мы убедились в том, что энная производная составлена правильно, подставляем в неё наше значение:

Теперь осталось все труды подставить в формулу Тейлора и аккуратно провести упрощения:

Далее необходимо найти область сходимости полученного степенного ряда  . Это стандартная задача, которую мы многократно прорешивали на уроке Степенные ряды. Область сходимости ряда. Впрочем, из того соображения, что на концах интервала должны сократиться «двойки в степени эн», ответ нетрудно «углядеть» и устно:  .
Теперь способ второй. Он основан на замене переменной. Итак, требуется разложить ту же функцию  в ряд Тейлора по степеням  , и мы проводим замену:
, откуда выражаем  – и подставляем в нашу функцию:

при этом общая формула Тейлора превращается в формулу Маклорена:

и появляется возможность воспользоваться теми же табличными разложениями!
Таким образом, наша задача свелась к задаче предыдущего параграфа, представим полученную функцию в виде:
и воспользуемся разложением:
., в данном случае  :
, после чего вспоминаем о том, что  и записываем искомое разложение:
, и проверочка заодно получилась.