Sh. Soliyev Qo‘qon dpi, fizika-matrematika fanlari nomzodi,"matematika-infomatika" kafedrasi dosenti 1-mavzu. Ratsional kasrlar

3-mavzu. To‘rtinchi darajali algebraik tenglamalarni yechish.
kompleks sonlar maydonida to‘rtinchi darajali tenglamaning ikki tomonini bosh koeffitsiyentga bo‘lib, uni
(1)
ko‘rinishga keltiramiz. To‘rtinchi darajali tenglamalarni yechishning bir necha usullari bor. Biz ulardan bittasini, ya’ni Ferrari usulini ko‘rib o‘tamiz.
(1) tenglamaning keyingi uchta hadini o‘ng tomonga o‘tkazib, so‘ngra ikki tomonga ni qo‘shsak,

yoki desak,

hosil bo‘ladi. Bu so‘nggi tenglamaning ikki tomoniga ni qo‘shib (bunda – yangi noma’lum), ushbuni hosil qilamiz:

bundan
. (2)
Yangi noma’lumni (2) tenglamaning o‘ng tomoni to‘liq kvadratdan iborat bo‘ladigan qilib aniqlaymiz. Buning uchun
, , (3)
deb olamiz. (2) ning o‘ng tomoni to‘la kvadrat bo‘lishi uchun, shartga asosan, quyidagi natijaga kelamiz:

yoki
. (4)
Agar (4) tenglama ildizlaridan birini desak, (3) dan
, ,
hosil bo‘lib, (2) tenglama

yoki

ko‘rinishni oladi, bunda va .
Demak, berilgan tenglama ikkita
(5)
kvadrat tenglama ko‘paytmasiga yoyiladi. Bularni yechib, (1) tenglamaning to‘rtta ildizini topamiz.
Misol. tenglamani yechamiz. Bunda . Avval (4) tenglamani tuzib, ushbuni topamiz:
.
Bu tenglamani yechamiz:
,
bundan . Demak, .
Endi (3) dan , . Masalan, ni olsak, dan ni hosil qilamiz.
Shunday qilib, (5) tenglamalar
,

ko‘rinishga ega bo‘ladi. Bularni yechib, berilgan tenglamaning to‘rtta ildizini hosil qilamiz:
, ,
4-mavzu. Ildiz chegaralari, Shturm teoremasi.
Biror haqiqiy sonlar chekli ketma-ketligini, masalan,
2, 4, 5, 3, 1 (1)
ni olaylik. Bu ketma-ketlikdagi sonlarni ishoralari quyidagicha navbatlashadi:
, +, , , +,
va demak, uch marta o’zgaradi, ya’ni avval minusdan plyusga, so’ngra plyusdan minusga, va nihoyat, minusdan yana plyusga o’tadi. Shunday qilib, (1) ketma-ketlikda uchta ishora almashinish bor.
Agar
8, 2, 1, 3, 2, 6, 7, 5
ketma-ketlikni olsak, oltita ishora almashinish borligini ko’ramiz.
haqiqiy sonlar maydoni ustidagi ko’phad bo’lsin.
Bu ko’phadni o’zining hosilasi bilan o’zaro tub deb, ya’ni va ning eng katta umumiy bo’luvchisi o’zgarmas songa teng deb faraz qilamiz.
Bu holda ko’phad karrali haqiqiy ildizlarga ega bo’lmaydi. Chunki, aks holda, ning , karrali ildizi uchun karrali ildiz bo’lib, va ko’phadlar ga bo’linadi, va shu sababli, ular o’zaro tub bo’lmaydi.
Endi va ko’phadlarga Yevklid algoritmini tatbiq etamiz. Ammo bunda har gal qoldiqning ishorasini o’zgartiramiz. Masalan, ni ga bo’lishdan qoldiq chiqsa, biz uning o’rniga ko’phadni olamiz. Buni nazarda tutib, quyidagilarni hosil qilamiz:
(2)
Bunda nolinchi darajali ko’phad, chunki bu qoldiq va ko’phadlarning eng katta umumiy bo’luvchisini ifodalaydi.
1-ta’rif. Ushbu
(3)
ko’phadlar Shturm ko’phadlari deyiladi, bu ko’phadlarning birinchisi va oxirgisidan boshqa har biri oraliq ko’phad deb ataladi.