Shahrisabz Davlat Pedagogika institutining Pedagogikka fakulteti Tabiiy va Aniq fanlar kafedrasining Matematika va Informatika yo’nalsihi Matematika va Informatika

Shahrisabz Davlat Pedagogika institutining Pedagogikka fakulteti Tabiiy va Aniq fanlar kafedrasining Matematika va Informatika yo’nalsihi Matematika va Informatika yo’nalishi 1-kurs 1-22-guruh talabasi AHMATOV rustamning Algebra va sonlar nazariyasi fanidan tayyorlagan slaydi

M A V Z U ;

• Ko’phadlarni
• qoldiqli
• bo’lish formulasi

Berilgan P(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an ko‘phadni

• Berilgan P(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an ko‘phadni
• Q(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm ko‘phadga bo‘lish talab qilinsin. Agar shunday S(x) va R(x) ko‘phadlar mavjud bo‘lib, P(x)=Q(x) S(x)+R(x) (1) tenglik o‘rinli bo‘lsa, P(x)-bo‘linuvchi, Q(x)-bo‘luvchi S(x)- bo‘linma va R(x) – qoldiq ko‘phadlar deyiladi. Bu yerda R(x) ning daraja ko‘rsat-kichi, Q(x) daraja ko‘rsatkichidan kichik bo‘ladi. R(x)=0 bo‘lsa, P(x) ko‘phad Q(x) ga qoldiqsiz bo‘linadi deyiladi, aks holda bo‘lish qoldiqli deyiladi (yoki bo‘linmaydi deyiladi).

Bo‘linma S(x) va qoldiq R(x) ni topishda “aniqmas koeffitsiyentlar usuli” yoki “burchakli bo‘lish” usulidan foydalanish mumkin.

• Bo‘linma S(x) va qoldiq R(x) ni topishda “aniqmas koeffitsiyentlar usuli” yoki “burchakli bo‘lish” usulidan foydalanish mumkin.
• Bo‘luvchi Q(x) va bo‘linma S(x) daraja ko‘rsatkichlarining yig‘indisi P(x) daraja ko‘rsatkichiga tengligini hisobga olgan holda, (1) tenglikni S(x) va R(x) koeffitsiyentlari noma’lum bo‘lgan shaklda yoza-miz. Ikki ko‘phad tengligidan (qavslarni ochib, ma’lum amallarni bajar-gandan keyin) foydalanib, noma’lum koeffitsiyentlarni topish uchun chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bunday sistema yagona yechimga ega bo‘ladi.

1-misol. P(x)=x3+2x2-1 ko‘phadni Q(x)=x2+x+2 ko‘phadga bo‘lamiz.Bo‘linmani S(x)=c0x+ c1 ko‘rinishda qidiramiz. Q(x) ni darajasi 2ga P(x) ning darajasi 3 ga teng, demak S(x)ning darajasi birga teng bo‘-lishi kerak, qoldiqni R(x)=d0x+d1 ko‘rinishda qidiramiz. (1) tenglikni yozamiz: x3+2x2-1=(x2+x+2)(c0x+c1)+d0x+d1.

• 1-misol. P(x)=x3+2x2-1 ko‘phadni Q(x)=x2+x+2 ko‘phadga bo‘lamiz.Bo‘linmani S(x)=c0x+ c1 ko‘rinishda qidiramiz. Q(x) ni darajasi 2ga P(x) ning darajasi 3 ga teng, demak S(x)ning darajasi birga teng bo‘-lishi kerak, qoldiqni R(x)=d0x+d1 ko‘rinishda qidiramiz. (1) tenglikni yozamiz: x3+2x2-1=(x2+x+2)(c0x+c1)+d0x+d1.

Bundan ko‘rinadiki, c0=1 bo‘lishi kerak. Qavslarni ochib, o‘xshash-larini keltirib x3+2x2-1=x3+(1+c1)x2+(2+c1+d0)x+(2c1+d1) tenglikni hosil qilamiz. Mos koeffitsiyentlarni tenglashtirib, sistemaga ega bo‘lamiz, uni yechib c1=1, d0=-3, d1=-3 ni topamiz. Bo‘-linma S(x)=x+1 va qoldiq R(x)=-3x-3 ekan.“Burchakli bo‘lish” usulini misolda ko‘ramiz.

• Bundan ko‘rinadiki, c0=1 bo‘lishi kerak. Qavslarni ochib, o‘xshash-larini keltirib x3+2x2-1=x3+(1+c1)x2+(2+c1+d0)x+(2c1+d1) tenglikni hosil qilamiz. Mos koeffitsiyentlarni tenglashtirib, sistemaga ega bo‘lamiz, uni yechib c1=1, d0=-3, d1=-3 ni topamiz. Bo‘-linma S(x)=x+1 va qoldiq R(x)=-3x-3 ekan.“Burchakli bo‘lish” usulini misolda ko‘ramiz.

2-misol. Ushbu ifodaning butun qismini ajratamiz. Quyidagi bo‘-lishni bajaramiz: 4x2-15ax3+20a2x2+5a4 x2-2ax+4a2 4x2-8ax3+16a2x2 4x2-7ax-10a2 -7ax3+4a2x2+5a4 -7ax3+14a2x2-28a3x -10a2x2+28a3x+5a4 -10a2x2+20a3x-40a4 8a3x+45a4 Butun qism 4x2-7ax-10a2 bo‘lib, qoldiq 8a3 x+45a4 ga teng ekan.

• 2-misol. Ushbu ifodaning butun qismini ajratamiz. Quyidagi bo‘-lishni bajaramiz: 4x2-15ax3+20a2x2+5a4 x2-2ax+4a2 4x2-8ax3+16a2x2 4x2-7ax-10a2 -7ax3+4a2x2+5a4 -7ax3+14a2x2-28a3x -10a2x2+28a3x+5a4 -10a2x2+20a3x-40a4 8a3x+45a4 Butun qism 4x2-7ax-10a2 bo‘lib, qoldiq 8a3 x+45a4 ga teng ekan.

Berilgan P(x) va Q(x) ko‘phadning eng katta umumiy bo‘luvchisini topish uchun Yevklid algoritmidan foydalanish mumkin. P(x) ni Q(x) ga bo‘lib, qoldiq R1(x) ni hosil qilamiz, Q(x) ni R1(x) ga bo‘lib R2(x) qol-diqni va hokazo hosil qilamiz. Qoldiqlarning darajalari pasayib boradi va oxiri 0 ga teng qoldiqqa ega bo‘lamiz. Undan oldingi 0 dan farqli, qoldiq berilgan ko‘phadlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi bo‘ladi.

• Berilgan P(x) va Q(x) ko‘phadning eng katta umumiy bo‘luvchisini topish uchun Yevklid algoritmidan foydalanish mumkin. P(x) ni Q(x) ga bo‘lib, qoldiq R1(x) ni hosil qilamiz, Q(x) ni R1(x) ga bo‘lib R2(x) qol-diqni va hokazo hosil qilamiz. Qoldiqlarning darajalari pasayib boradi va oxiri 0 ga teng qoldiqqa ega bo‘lamiz. Undan oldingi 0 dan farqli, qoldiq berilgan ko‘phadlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi bo‘ladi.

Misollar;

• 1. “Noma’lum koeffitsiyentlar usuli” dan foydalanib, bo‘linma va qoldiqni toping:
• 1) P(x)=x3-3x2+5, Q(x)=x+2
• 2) P(x)=2x3+5x-3, Q(x)=x2+3x
• 3) P(x)=3x4-5x2+1, Q(x)=x2+3
• 4) P(x)=4x4+3x3-x, Q(x)=2x2+3x-1

E’tiboringiz uchun rahmat!!!