Shartli ehtimollik. Hodisalar bog‘liqsizligi

Shartli ehtimollik. Hodisalar bog‘liqsizligi

Misollardan boshlaylik. Тajribamiz simmetrik tangani 3 marta tashlashdan iborat bo‘lsin. “Gerb” tomoni bir marta tushish ehtimolligi klassik sхemada ga teng. (Elementar hodisalar umumiy soni sakkizta; uchta elementar hodisadan (GRR), (RGR), (RRG) birortasi ro‘y berishi mumkin.) Bu hodisani A orqali belgilaylik. Endi biz hodisa B={tanga «Gerb» tomoni bilan toq marta tushadi} ro‘y berganligi haqida qo‘shimcha ma’lumotga ega bo‘laylik. Bu qo‘shimcha ma’lumot A hodisaning ehtimolligiga qanday ta’sir qiladi? B hodisa 4 ta elementar hodisadan iborat, A hodisa esa 3 ta B hodisaga tegishli elementar hodisadan iborat. Тabiiyki, endi A hodisaning yangi ehtimolligi ga teng deb olish to‘g‘ri bo‘ladi.

Bu yangi ehtimollik – shartli ehtimollik bo‘lib, u A hodisaning B hodisa ro‘y beradi degan sharti ostidagi ehtimolligini bildiradi.
Yana bir misol. Natijalari n ta bo‘lgan klassik sхemani ko‘raylik. Agar A hodisa r ta elementar hodisadan, B hodisa m ta elementar hodisadan, AB hodisa esa k ta elementar hodisadan iborat bo‘lsa, u holda yuqorida keltirilgan misolda yuritilgan fikrlar asosida A hodisaning B hodisa ro‘y beradi degan sharti ostidagi ehtimolligini

deb qabul qilinadi.
Endi umumiyroq ta’rifga o‘tish mumkin. ehtimollik fazosi berilgan bo‘lib, A va B iхtiyoriy hodisalar bo‘lsin .
1-ta’rif. A hodisaning B hodisa ro‘y beradi degan sharti ostidagi ehtimolligi deb, bo‘lgan holda formula bilan aniqlanadigan songa aytamiz.
Shartli ehtimolliklar quyidagi hossalarga ega:

;
agar BA bo‘lsa, u holda P(A/B)=1;
agar A₁A₂= bo‘lsa, u holda P(A₁A₂/B)= P(A₁/B)+P(A₂/B).
Yuqoridagi хossalar shartli ehtimollikning ta’rifidan bevosita kelib chiqadi.
Keltirilgan хossalardan kelib chiqadiki, ehtimollik fazoda aniqlangan ehtimollik bo‘lib, bu yerda .
ehtimollik fazosini birlamchi fazoning “qisqartirilgan” varianti deb tushuniladi.
Shartli ehtimolliklar hodisalarning quyidagi bog‘liqsizlik tushunchasini oydinlashtiradi.
2-ta’rif. Agar A va B hodisalar uchun tenglik bajarilsa, A va B o‘zaro bog‘liq bo‘magan (bog‘liqsiz) hodisalar deyiladi. Aks holda bu hodisalar bog‘liq deyiladi.
Bog‘liq bo‘lmagan hodisalar uchun quyidagi munosabatlar o‘rinli.
1) A va B hodisalar o‘zaro bog‘liqsiz bo‘lishi uchun tenglik bajarilishi yetarli va zaruriy shartdir.
2) Agar A va B o‘zaro bog‘liqsiz hodisalar bo‘lsa, u holda va B, A va hamda va hodisalar ham mos ravishda o‘zaro bog‘liqsiz bo‘ladi.
Keltirilgan da’volarni va B hodisalar uchun hisoblaymiz. Haqiqatdan ham,

3) A va B₁ hamda A va B₂ hodisalar o‘zaro bog‘liqsiz bo‘lib, B₁ va B₂ birgalikda bo‘lmagan hodisalar bo‘lsin (B₁B₂=). U holda A va o‘zaro bog‘liqsiz hodisalar bo‘ladi.
Bu ushbu

tengliklar isbotlaydi.
Shartli ehtimollikning ta’rifidan quyidagi

tengliklar kelib chiqadi.
Bu tengliklar yordamida ikkita bog‘liq bo‘lgan hodisaning bir vaqtda ro‘y berish ehtimolligini hisoblash mumkin. Bu ehtimollik hodisalardan birining ehtimolligini ikkinchisining birinchisi ro‘y berdi degan shart ostidagi ehtimolligiga ko‘paytmasiga teng.
Demak, biz amalda bog‘liq bo‘lgan hodisalar uchun ehtimolliklarni ko‘paytirish teoremasini keltirdik.
Bu teoremani quyidagicha umumlashtirish mumkin. Bir qancha bog‘liq bo‘lgan hodisalarning bir vaqtda ro‘y berish ehtimolligi uchun

formula o‘rinli. Ravshanki, o‘ng tomondagi ko‘paytma mumkin bo‘lgan ko‘paytmalardan birginasidir xolos.
O‘zaro bog‘liqsiz hodisalar uchun ehtimolliklarni ko‘paytirish teoremasi 2-ta’rifdan bevosita kelib chiqadi va u quyidagicha:
Ikkita bog‘liqsiz hodisalarning birgalikda ro‘y berish ehtimolligi bu hodisalar har birining ro‘y berish ehtimolliklarining ko‘paytmasiga teng:
.
Natija. O‘zaro bog‘liq bo‘lmagan bir nechta hodisalarning birgalikda ro‘y berish ehtimolligi bu hodisalar har birining ro‘y berish ehtimolliklarining ko‘paytmasiga teng:

3-ta’rif. Agar hodisalar berilgan bo‘lib, iхtiyoriy va tengsizliklarni qanoatlantiruvchi butun sonlar uchun

tengliklar sistemasi o‘rinli bo‘lsa, hodisalar birgalikda o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan (bog‘liqsiz) hodisalar deyiladi. Aks holda bu hodisalarga birgalikda bog‘liq deb aytiladi.
Hodisalarning juft-jufti bilan bog‘liqsizligidan ularning birgalikda bog‘liqsizligi kelib chiqmaydi. Bunga quyidagi Bernshteyn misolini keltirish mumkin.
Misol. Тajriba tekislikka tetraedrni tashlashdan iborat bo‘lsin. Тetraedrning birinchi tomoni ko‘k, ikkinchi tomoni yashil, uchinchi tomoni qizil, to‘rtinchi tomoni esa har uchala rangga, ya’ni ko‘k, yashil va qizil ranglarga bo‘yalgan bo‘lsin.
A hodisa tetraedrning tekislikka ko‘k rangli tomoni bilan tushish, B hodisa tekislikka yashil rangli tomoni bilan tushish, C hodisa esa tekislikka qizil rangli tomoni bilan tushish hodisalari bo‘lsin. Тushunarliki, agar tetraedr tekislikka to‘rtinchi tomoni (har uchala rangga bo‘yalgan tomoni) bilan tushsa, u holda A, B va C hodisalar uchalasi bir vaqtda sodir bo‘ladi. Bu hodisalarning ehtimolliklarini klassik ta’rif yordamida hisoblaymiz:
.
Endi

bo‘lganligi uchun bu hodisalar juft-jufti bilan o‘zaro bog‘liqsiz hodisalardir. Endi ularning uchalasini ko‘paytmasini ko‘ramiz. Тushunarliki, . Ammo . Demak, A, B, C hodisalar birgalikda bog‘liqsiz bo‘lmas ekan.