Shártli ekstremumlı variaciyalıq máseleler

Sheshiliwi. 1) Dáslep berilgen máselege sáykes Lagranj funkciyasın jasaymız:
. (1.13)
2) Lagranj funkciyasına sáykes Eyler teńlemeleriniń (7) - sistemasın jazamız:

;
(1.14)
3) Endi Eyler teńlemeleriniń (14)-sistemasın sheshemiz. Bunıń ushın (14) - sistemanıń teńlemelerin qosıp, mına teńlemege kelemiz:

dep belgilep alsaq, sońǵı teńleme kórinisinde jazıladı. Bul ekinshi tártipli turaqlı koefficentli bir tekli teńlemesınıń ulıwma sheshimin tabamız. onıń xarakteristikalıq teńlemesi bolǵanlaqtan, boladı hám ulıwma sheshimi kórinisinde jazıladı. Bunnan teńligine kelemiz.
4) Endi (11) - shegaralıq shártlerinen paydalanıp, mánislerine iye bolamız, yaǵnıy boladı. Bunnan tısqarı, (12) shártleri boyınsha . Sonlıqtan , sheshimlerine iye bolamız.
5) Solay etip,

boladı. Sonlıqtan

boladı.


2. Differenciallıq baylanısı bar variaciyalıq másele

Egerde Lagranj máselesinde (1) shekli teńlemesınıń ornına
(1.15)
differenciallıq teńlemesi berilgen bolsa, onda kelip shıqqan másele differenciallıq baylanıslı shártli ekstremum máselesi dep ataladı.
Lagranj máselesi jaǵdayındaǵı sıyaqlı, egerde hám funkciyaları (15) differenciallıq teńlemesin, (3) shegaralıq shártlerin qanaatlandırsa hám (2) funkcionalına ekstremum mánis berse, onda funkciyaları

funkcionalınıń ekstremalları bolatuǵın funkciyası bar boladı.
Solay etip, bul differenciallıq baylanısı bar shártli ekstremum máselesınıń ekstremalları Eylerdıń ekinshi tártipli differenciallıq teńlemeleriniń (7) - sistemasınan hám birinshi tártipli (15) - differenciallıq teńlemesinen (3) - shegaralıq shártleri járdeminde anıqlanadı:
(1.16)
2-mısal. Mına funkcionaldıń ekstremalların hám ekstremum mánisin tabıń:
,
,

Sheshiliwi. 1) Dáslep bul máselege sáykes Lagranj funkciyasın jasaymız:

2) Lagranj funkciyasına sáykes Eyler teńlemeleriniń sistemasın jasaymız:
,
,
,

Eyler teńlemeleriniń sońǵı sistemasınan tı joq etip, mına teńlemege kelemiz: . Biraqta máselenıń shártinde berilgen differenciallıq baylanıstan boladı. Usını esapqa alıp, sońǵı teńlemeni kórinisinde jazıwǵa boladı.
3) Endi tórtinshi tártipli turaqlı koefficentli bir tekli differenciallıq teńlemesiniń ulıwma sheshimin tabamız. Bul teńlemeniń xarakteristikalıq teńlemesi kórinisinde jazıladı. Onıń korenlerin anıqlaymız: - eseli koren boladı. Sonlıqtan boladı hám tórtinshi tártipli teńlemeniń ulıwma sheshimi kórinisine iye boladı. Usı sebepli, boladı.
4) Berilgen shegaralıq shártlerden paydalanıp, berilgen máseleniń mına sheshimine iye bolamız: .
5) Bul tabılǵan ekstremallarǵa sáykes berilgen funkcionaldıń ekstremum mánisin esaplaymız: