Shártli ekstremumlı variaciyalıq máseleler

11-§. Shártli ekstremumlı variaciyalıq máseleler
Izlenip atırǵan funkciyaǵa shegaralıq shártlerden basqa, qosımsha sheklewler qoyılǵan variaciya esabiniń máseleleri shártli ekstremumlı variaciyalıq máseleler dep ataladı. Bunday máseleler qosımsha sheklewleriniń túrine baylanıslı bir neshe toparǵa bólinedi.
1. Ápiwayı sheklewlerge iye bolǵan másele, yaǵnıy Lagranj máselesi.
Bul másele tómendegishe qoyıladı:
(1.1)
betiniń ústinde jatırǵan barlıq , iymeklikleriniń arasınan
(1.2)
funkcionalına ekstremum mánis beretuǵın iymekliklerdi tabıw talap etiledi. Iymekliklerdıń ushları bekitilgen:
(1.3)
hám hám noqatları (1) - qatnasın qanaatlandıradı.
Bunda mınaday uyǵarıwlar jasaladı: 1) bolǵanda funkciyası óziniń barlıq ózgeriwshileri boyınsha eki ret úzliksiz differenciallanatuǵın funkciya; b) funkciyası óziniń barlıq ózgeriwshileri boyınsha úzliksiz differenciallanatuǵın funkciya bolıp, bolǵanda
(1.4)
boladı.
Sonda (4)-shárti orınlanǵanda (1)-teńlemesi keńislikte betin anıqlaydı. Sonlıqtan Lagranj máselesi mına geometriyalıq mániske iye boladı: betiniń ústinde jatatuǵın hám ushları berilgen (3)-noqatlarında bolǵan barlıq iymekliklerdıń arasınan (2) - funkcionalına ekstremum mánis beretuǵın iymekliklerdi tabıw talap etiledi.
Qaralıp atırǵan máselege sáykes Lagranj funkciyasın kirgizemız:
(1.5)
Bunda - qálegen funkciya (Lagranj kóbeytiwshisi).
Kirgizilgen (5)-Lagranj funkciyasına baylanıslı, (2)-funkcionalınıń (1) hám (3) - shártleri berilgende ekstremumınıń zárúrli shárti tómendegi teorema menen qáliplestiriledi.
1-teorema. Egerde (2) - funkcionalı (1), (3) - shártlerinde , funkciyalarında ekstremumǵa erise, onda bul funkciyalar
(1.6)
funkcionalı ushın jazılǵan
(1.7)
Eyler teńlemeleriniń sistemasın qanaatlandıratuǵın, Lagranjdıń kóbeytiwshisi bar boladı.
Bul teoremadan paydalanıp (2) - funkcionalınıń shártli ekstremumuı haqqındaǵı másele (6) - funkcionalınıń ekstremumın (1)-qosımsha shártsiz izertlewge keltiriledi.
Lagranj máselesin bul teoremadan paydalanıp sheshkende izlenıp atırǵan hám funkciyaları, Lagranjdıń kóbeytiwshisi II tártipli ádettegi differenciallıq teńlemeleriniń (7) - sistemasınan hám (3) - shegaralıq shártlerinen anıqlanadı.
Lagranjdıń (5) - funkciyasına qarata jazılǵan Eyler teńlemeleriniń (7) -sistemasın dáslepki funkciyasına qarata tómendegi kóriniste jazıwǵa boladı:
(1.8)
Solay etip, Lagranj máselesinde úsh belgisiz funkciyaları Eylerdıń
(1.9)
eki teńlemesiniń sistemasınan, (1) - teńlemesinen hám (3) - shegaralıq shártlerinen anıqlanadı.
1-mısal. Tómendegi Lagranj máselesin sheshiń:
(1.10)
(1.11)
(1.12)