Shártli ekstremumlı variaciyalıq máseleler

3. Izoperimetrlik másele.
Meyli

funkcionalları berilgen bolsın. Bunda bolǵanda eki ret úzliksiz differenciallanatuǵın funkciyalar dep uyǵarıladı. Sonda izoperimetrlik másele tómendegishe qoyıladı.
(1.17)
(1.18)
shártlerin qanaatlandıratuǵın barlıq iymeklikleriniń arasınan
(1.19)
funkcionalına ekstremum mánis beretuǵın iymeklikti tabıw talap etiledi.
Bul másele Lagranjdıń kóbeytiwshisin kirgiziw arqalı
(1.20)
funkcionalınıń shártsiz ekstremumın tabıw máselesine keltiriledi.
2-teorema. Meyli (17) - (19) shártli ekstremum máselesiniń ekstremalı bolsın hám funkcionalınıń ekstremalı bolmasın. Sonda (20) -funkcionalınıń
(1.21)
Eyler teńlemesin qanaatlandıratuǵın sanı bar boladı.
Solay etip, (17) - (19) izoperimetrlik máselesiniń tiykarǵı zárúrli shártin keltirip shıǵarıw ushın járdemshi (20) - funkcionalın jasap, bul funkcional ushın sáykes Eyler teńlemesin jazıw kerek. Eyler teńlemesiniń ulıwma sheshimindegi turaqlıları hám turaqlısı, (18) shegaralıq shártlerinen hám (17) izoperimetrlik shártlerinen anıqlanadı.
Izoperimetrlik máselelerdiń óz-ara birdeylik nızamı:

funkcionalınıń

qosımsha shártindegi ekstremallar funkcionalınıń shártindegi ekstremalları menen sáykes keledi.
3-mısal. Tómendegi izoperimetrlik máselede funkcionalı ekstremumǵa erisiwi múmkin bolǵan ekstremalın tabıń:
,
Sheshiliwi. 1) Berilgen másele ushın Lagranj funkciyası kórinisinde jazıladı. Sonlıqtan (21) - Eyler teńlemesi bolıp, onıń ulıwma sheshimi kórinisine iye boladı.
2) Lagranjdıń kóbeytiwshisin anıqlaw ushın máselede berilgen qosımsha shártten paydalanamız:

Bunnan boladı.
3) Sonda Eyler teńlemesiniń ulıwma sheshimi funkciyası boladı. Bundaǵı turaqlıları berilgen shegaralıq shártlerden paydalanıp anıqlanadı:

Bunnan mánisleri kelip shıǵadı. Solay etip, berilgen funkcionalı funkciyasında ekstremumǵa erisiwi múmkin. Bul funkciyada berilgen funkcionaldıń mánisi