Silindrik va sferik koordinatalarda nuqtaning tezligi va tezlanishi

Silindrik va sferik koordinatalarda nuqtaning tezligi va tezlanishi

Egri chiziqning egriligi va egrilik radiusi. M nuqta trayektoriyasining bir-biriga juda yaqin M va M1 nuqtalaridan Мт va M 1т1 urinmalarini o'tkazamiz. Urinmalar orasidagi burchakni ,W bilan, ММ 'yoy uzunligini AS bilan belgilaymiz Quyidaginisbatga egri chiziqning MM1 qismidagi o'rtacha egrili deyiladi. O'rtacha egrilikning AS 0 dagi limitiga (agar mavjud bo'lsa) egri chiziqning M nuqtadagi egrilik radiusi deyiladi. З burchakka egri chiziqning siljish burchagi deyiladi. Siljish burchagi egri chiziqning har xil nuqtalarida har xil bo'ladi. Egri chiziqning berilgan nuqtasidagi egriligi, elementar siljish burchagini elementar yoy uzunligiga nisbatiga teng, ya’ni R radiusli aylananing egriligini topamiz.
(143-shakl).M va M1 nuqtalardagi urinmalar orasidagi siljish
burchagi d3, aylananing unga mos markaziy burchagiga teng,
shuning uchun dS = Rd3 bo'ladi. U holda
k = d3 = d3 = 1= ~dS ~ RdO ~ R
Demak, aylananing egriligi o'zgarmas bo'lib, aylana radiusiga teskari miqdor ekan. Ixtiyoriy egri chiziqning egriligi umuman olganda o'zgaruvchi miqdordir. Egri chiziqning berilgan nuqtasidagi egriligiga teskari miqdorga egri chiziqning
shu nuqtasidagi egrilik radiusi deyiladi va quyidagicha yoziladi
1 = dS
k d3
Burchak tezlik. Nuqtaning R radiusli aylana bo'ylab harakatini qaraymiz. Bu holda M nuqta tezligining son qiymati quyidagiga teng bo'ladi:
miqdorga R radiusning aylanish burchak tezligi deyiladi.
Shunday qilib, aylana bo'ylab harakatlanuvchi nuqta
tezligining miqdori quyidagicha topiladi:
у= R0. (6.4.12)
Tezlik vektori aylana urinmasi bo'ylab,
harakat yo'nalishi tomonga yo'nalgan bo'ladi.
Sferik koordinatalar usuli
Sferik koordinatalar sistemasida M moddiy nuqtaning holati r,O,(p koordinatalar orqali (3-rasm) uning harakat qonunlari esa
r = r (t),
0 = 0(t),
d = d(t) (13)
tenglamalar bilan beriladi. Sferik va Dekart koordinatalar orasidagi bog'lanish quyidagi formulalar orqali ifodalanadi (rasm):
x = r sin^cosd, y = r sin^sind, r=rcos0
r = yj x2 + y2 + z2
Bu yerda r’ =x2 + y2 . Sferik sistemaning er,eO,ep ortlari bilan i, j,к Dekart
ortlari orasidagi bog'lanishlarni rasmdan foydalnib topish mumkin:
er = i sinOcosp + j sinOsinp + к cosO
eO = i cosOcosp + jcosOsinp-кsinO
ep = -i sin p + j cos p, r = rer
Sferik koordinatalar sistemsining barcha ortlari M nuqta
harakatlanganda o'z yo'nalishlarini o'zgartiradi, shuning
uchun ulardan vaqt bo'yicha birinchi tartibli hosilalar
olamiz:er = O eO+psinO ep
ee=-° er + pcosO ep
ep = -psinO er -pcosO eO
Sferik koordinatalar orqali ifodalangan r radius-vektordan birinchi tartibli hosila olib, (16) ni e'tiborga olsak, quyidagi munosabatlarni olamiz
v = r = rer + rO eO + rpp sin O ep
v = y]r2 + r2(O2 + pp2 sin2 O)
vr = r, vO= rO, vp= rppsinO
Ma'lumki, tezlik vektoridan vaqt bo'yicha olingan birinchi tartibli hosila tezlanish vektorini beradi: w=we +w e +w e
r r O O pp
wr = r - r(в2 + ф2 sin2 0) w0 =1 d(r202) -гф2 sin0cos0
r dt
wr, w0 va w2 mos holda radial, meridional va azimutal tezlanishlar deb yuritiladi.