Система аксиом множества действительных чисел

СИСТЕМА АКСИОМ МНОЖЕСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
В школьном курсе математики действительные числа определялись конструктивным путем, основываясь на потребности проводить измерения. Такое определение являлось нестрогим и часто заводило исследователей в тупик. Например, вопрос о непрерывности действительных чисел, то есть имеются ли пустоты в этом множестве. Поэтому при проведении математических исследований необходимо иметь строгое определение исследуемых понятий, хотя бы в рамках некоторых интуитивных предположений (аксиом), которые согласуются с практикой.
О п р е д е л е н и е . Совокупность элементов x, y, z, …, состоящая более чем из одного элемента, называется множеством R действительных чисел, если для этих объектов установлены следующие операции и отношения:
I группа аксиом – аксиомы операции сложения.
В множестве R введена операция сложения, то есть для любой пары элементов a и b определен единственный элемент, называемый их суммой и обозначаемый a + b, так, что при этом выполняются следующие условия:
I₁. a+b=b+a, a, b  R.
I₂. a+(b+c)=(a+b)+c, a, b, c  R.
I_3. Существует такое элемент, называемый нулем и обозначаемый 0, что для любого a  R выполняется условие a+0=a.
I₄. Для любого элемента a  R существует элемент, называемый ему противоположным и обозначаемый -a, для которого a+(-a)=0. Элемент a+(-b), a, b  R, называется разностью элементов a и b и обозначается a - b.
II –группа аксиом - аксиомы операции умножения. В множестве R введена операция умножения, то есть для любой пары элементов a и b определен единственный элемент, называемый их произведением и обозначаемый a b, так, что при этом выполняются следующие условия:
II₁. ab=ba, a, b  R.
II₂ a(bc)=(ab)c, a, b, c  R.
II₃. Существует такое элемент, называемое единицей и обозначаемое 1, что для любого a  R выполняется условие a  1=a.
II₄. Для любого a  0 существует элемент, называемый ему обратным и обозначаемый  или 1/a, для которого a  =1. Элемент a  , b  0, называется частным от деления a на b и обозначается a:b или  или a/b.
II₅. Связь операций сложения и умножения: для любых a, b, c  R выполняется условие (ac + b)c=ac+bc.
Совокупность объектов, удовлетворяющая аксиомам I и II групп, называются числовым полем или просто полем. А соответствующие аксиомы называются аксиомами поля.