Система аксиом множества действительных чисел

III – третья группа аксиом - аксиомы порядка. Для элементов R определено отношение порядка. Оно состоит в следующем. Для любых двух различных элементов a и b имеет место одно из двух соотношений: либо a  b (читается "a меньше или равно b"), либо a  b (читается "a больше или равно b"). При этом предполагается, что выполняются следующие условия:
III_1. a  a для каждого a. Из a  b, b  следует a=b.
III₂. Транзитивность. Если a  b и b  c, то a  c.
III₃. Если a  b, то для любого элемента c имеет место a+c  b+c.
III₄. Если a  0, b  0, то ab  0.


IV группа аксиом состоит из одной аксиомы - аксиомы непрерывности. Для любых непустых множеств X и Y из R таких, что для каждой пары элементов x  X и y  Y выполняется неравенство x<y, существует элемент a  R, удовлетворяющий условию

Рис. 2

x<a<y, x  X, y  Y (рис.2). Перечисленные свойства полностью определяют множество действительных чисел в том смысле, что из этих свойств следуют и все остальные его свойства. Данное определение однозначно задает множество действительных чисел с точностью до конкретной природы его элементов. Оговорка о том, что в множестве содержится более одного элемента, необходима потому, что множество, состоящее из одного только нуля, очевидным образом удовлетворяет всем аксиомам. В дальнейшем элементы множества R будем называть числами.
Определим теперь знакомые нам понятия натуральных, рациональных и иррациональных чисел. Числа 1, 2  1+1, 3  2+1, ...называются натуральными числами, и их множество обозначается N. Из определения множества натуральных чисел вытекает, что оно обладает следующим характеристическим свойством: если
1) A  N,
2) 1  A,
3) для каждого элемента x  A имеет место включение x+1  A, то A=N.
Действительно, согласно условию 2) имеем 1  A, поэтому по свойству 3) и 2  A, а тогда согласно тому же свойству получим 3  A. Поскольку любое натуральное число n получается из 1 последовательным прибавлением к ней той же 1, то n  A, т.е. N  A, а так как по условию 1 выполняется включение A  N, то A=N.
Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными, их множество обозначается I.
Возникает вопрос, что, может быть, рациональные числа исчерпывают все элементы множества R? Ответ на этот вопрос дает аксиома непрерывности. Действительно, для рациональных чисел эта аксиома не выполняется. Для примера, рассмотрим два множества:

Легко видеть, что для любых элементов  и  выполняется неравенство  . Однако рационального числа  , разделяющего эти два множества, не существует. В самом деле, этим числом может быть только  , но оно не является рациональным. Этот факт и указывает на то, что существуют иррациональные числа в множестве R.
Кроме четырех арифметических действий над числами можно производить действия возведения в степень и извлечения корня. Для любого числа a  R и натурального n степень aⁿ определяется как произведение n сомножителей, равных a: 
По определению a⁰  1, a>0, a^-n   1/aⁿ, a  0, n - натуральное число.
Пример. Неравенство Бернулли: (1+x)ⁿ >1+nx Доказать методом индукции.
Пусть a>0, n - натуральное число. Число b называется корнем n-й степени из числа a, если bⁿ=a. В этом случае пишется  . Существование и единственность положительного корня любой степени n из любого положительного числа будет доказано ниже в п. 7.3.
Корень четной степени  , a  0, имеет два значения: если b =  , k  N, то и -b =  . Действительно, из b^2k = a следует, что
(-b)^2k = ((-b)²)^k = (b²)^k = b^2k
Неотрицательное значение  называется его арифметическим значением.
Если r = p/q, где p и q целые, q  0, т. е. r - рациональное число, то для a > 0

(2.1)

Таким образом, степень a^r определена для любого рационального числа r. Из ее определения следует, что для любого рационального r имеет место равенство
a^-r = 1/a^r.
Степень a^x (число x называется показателем степени) для любого действительного числа x получается с помощью непрерывного распространения степени с рациональным показателем (см. об этом в п. 8.2). Для любого числа a  R неотрицательное число

называется его абсолютной величиной или модулем. Для абсолютных величин чисел справедливы неравенства
|a + b| < |a| + |b|,
||a - b|| < |a - b|, a, b  R
Они доказываются с помощью свойств I-IV действительных чисел.
Роль аксиомы непрерывности в построении математического анализа[править | править вики-текст]
Значение аксиомы непрерывности таково, что без нее невозможно строгое построение математического анализа.^{[источник не указан 1351 день]} Для иллюстрации приведем несколько фундаментальных утверждений анализа, доказательство которых опирается на непрерывность действительных чисел:
· (Теорема Вейерштрасса). Всякая ограниченная монотонно возрастающая последовательность сходится
· (Теорема Больцано — Коши). Непрерывная на отрезке функция, принимающая на его концах значения разного знака, обращается в нуль в некоторой внутренней точке отрезка