Sistemaning erkinlik darajasi soni. Bog’lanishlarning reaksiyalari

Sistemaning erkinlik darajasi soni. Bog’lanishlarning reaksiyalari.

Sistemaning erkinlik darajasi soni S -ga teng bo'lsin. Bunday sistemaning erkin tebranishlari nazariyasi bir o'lchami tebranishlar nazariyasiga o'xshash bo'ladi.
Agar sistema potensial energiyasi qi = qi0 (i = 1,2,...,S) nuqtasida minimumga ega bo'lsa, xi = qi - qi0 kichik siljish kiritib, oldin ko'rganimizdek, potensial energiyani katorga yoyish asosida yozishimiz mumkin:
U = 2 Y kxx
Bu yerda koeffisiyent k indekslar bo'yicha simmetrik bo'ladi:
kik = kki
Shu asosda kinetik energiyani ham T = 2 Y mikxix k
Ko'rinishda yozib, Lagranj funksiyasini L = 2Y(m1kxixk -kxx) (1)
deb yoza olamiz.
Harakat tenglamasi va uning yechimi
Lagranj funksiyaning to'liq differensialini yozamiz:
dL = 2 Ydm,xdx + mkxkdx - krkxrdxk - kikxkdxr ) i k almashtirish o'tkazsak
dL = Y(mlkxkdxt -k^kxkdxt)
Bundan dL v • dL
— = Y mikxk , ту = -Y kikxk dxidxi
Lagranj tenglamasi esa Y mk xk + Y kikxk = 0
kabi yoziladi. Bu S -ta chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini olamiz. Ularning umumiy yechimi Xk = 0 tariqasida axtaramiz. U holda (2) o'rnida E( a m + k )Ak =0 (3) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini olamiz. Bu sistemaning noldan farqli yechimi \kik 2m-k|determinantning nolga tengligi bilan aniqlanadi: k- (2>:mik\ =0 (4)
(2)
Bu determinantni ochib chiqsak, 02-ga nisbatan S -chi darajadagi tenglamani olamiz. U esa aa(a = 1,2,...,S) haqiqiy ildizlarga ega bo'ladi. Shu yul bilan aniqlangan aa kattaliklar sistemasining xususiy chastotalari deyiladi. Topilgan ildizlarni (3) tenglamaga qo'yib, har bir aa -ga mos keluvchi Aa koeffisiyentlarni topamiz. Agar barcha ildizlar bir-biridan farq qiluvchi bo'lsa, Aa ildizlar (4) aniqlovchining minorlariga proporsional bo'ladi va bu minorda a,aa ildizlarga almashtirilgan bo'ladi.
U holda yechim
x = Д C e iaa
bu yerda Ca -ixtiyoriy koeffisiyent, Д ka - (5) ning minori. Umumiy yechim
Xk = Re|f Д kaCae,aa- E Д " (5)
t,a=1a bu yerda
2 = ReCae"at}
Shunday qilib, sistema koordinatalari har birining vaqt bo'yicha o'zgarishi ixtiyoriy amplitudali va fazali, aniq chastotaga ega bo'lgan S -ta oddiy davriy tebranishlar 81 , 82 ,..., 8S lar to'plamidan iborat bo'ladi.
Normal koordinatalar
Umumlashgan koordinatalarni shunday qilib tanlab olish mumkinki, ularning har biri oddiy bita tebranishni ifodalasin. Haqiqatan, (5) tenglamalar sistemasini yechib, 81 , 82 ,..., 8S kattaliklarni X1,X2,..., XS koordinatalar orqali ifodalash mumkin. Demak, 8a kattaliklarga Yangi umumlashgan koordinatalar deb qarash mumkin. Bu koordinatalar odatda normal koordinatalar deyiladi va ular oddiy tebranishlarni ifodalaydi va qo'yidagi tenglamalarni qanoatlantiradi: 8a+alda= 0
Lagranj funksiyasi esa bu koordinatalarda qo'yidagicha yoziladi:
l = E m2afe-a282)
Agar 8, =4mada almashtirish o'tkazsak, L = 2 a2