Случайные события. Случайные величины

2. Числовые характеристики случайных величин
Функция или плотность распределения некоторой случайной величины являются наиболее полными вероятностными характеристиками этой величины. Однако ими не всегда удобно пользоваться по следующим причинам:
-- при решении различных задач оптимизации значительно удобнее пользоваться числовыми, а не функциональными характеристиками;
-- во многих задачах функция и плотность распределения не могут быть определены достаточно точно.
В связи с этим при решении многих теоретических и прикладных задач широко используются различные числовые характеристики случайных величин. Рассмотрим некоторые из них.
1. Математическое ожидание E(X) случайной величины X, определяемое выражением
где fix) -- плотность распределения величины X. Так как согласно равенству (1.5.5)
--уп
то выражение (1.6.1) можно рассматривать- как среднее взвешенное из BGex возможных значений X. При этом в качестве веса используется плотность распределения. В связи с этим математическое ожидание иногда называют средневероятным значением рассматриваемой величины. Пользуясь зависимостями (1.5.5) -- (1.5.9), можно показать, что для рассмотренных выше распределений случайной величины X математическое ожидание Е(%) имеет следующие значения:
2. Дисперсия случайной величины X, определяемая выражением
и представляющая собой математическое ожидание квадрата отклонения рассматриваемой случайной величины X от ее математического ожидания Е(Х).
Из приведенного выражения видно, что дисперсия характеризует разброс фактических значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Ниже приводятся у значения дисперсий для рассмотренных распределений случайных величин:
1
Заметим, что использование дисперсии D(X) на практике неудобно, так как ее размерность отличается от размерности рассматриваемой случайной величины X. Поэтому вместо D(X) часто используют так называемое стандартное (среднее квадратическое) отклонение у(Ч), определяемое выражением
и имеющее ту же размерность, что и X.
Из (1.6.3), (1.6.5) и (1.6.6) видно, что параметры а и у нормального распределения (1.5.7) представляют собой соответственно математическое ожидание и стандартное отклонение рассматриваемой случайной величины.
3. Математическое ожидание в2(Ч) квадрата случайной величины X, определяемое выражением
Пользуясь равенствами (1.6.1), (1.6.2), (1.6.4) и (1.6.7), легко показать, что между рассмотренными числовыми характеристиками имеет место простое соотношение
Введение указанных числовых характеристик имеет смысл лишь в тех случаях, когда входящие в соответствующие выражения (1.6.1), (1.6.4) и (1.6.7) несобственные интегралы сходятся. Существуют примеры плотностей fix), удовлетворяющих условию (1.6.2), для которых такая сходимость не имеет места.
На практике величины Е(Х) и о(Х) обычно определяются экспериментально по данным статистических испытаний. При этом их принимают равными соответствующим средним статистическим значениям [13]
где п -- число статистических испытаний,
-- полученные в результате этих испытаний значения X.