Случайные события. Случайные величины

3. Характеристики точности
Как было указано выше, примером случайной величины может служить получаемое по данным эксперимента значение X некоторого физического параметра X. Оно может быть найдено либо непосредственным измерением, либо путем математической обработки данных нескольких (во многих случаях 4 -- большого числа) различных измерений. Обозначим через ошибку этого измерения. Здесь X -- неизвестное нам точное значение рассматриваемой величины.
Для того чтобы охарактеризовать точность найденного значения X, надо каким-то образом охарактеризовать неизвестную ошибку о этой величины. Для этой цели обычно используются некоторые численные характеристики точности.
В простейших случаях такой характеристикой служит максимально возможное значение модуля ошибки о, т. е. величина 6юах, удовлетворяющая условию
где 1 -- любое возможное значение ошибки величины X.
Такой способ оценки точности обычно используется на производстве. Так, если нам нужно изготовить в одном месте валик, а в другом -- просверлить отверстие, в которое этот валик должен входить, то разность между измеренными значениями диаметров отверстия и валика должна не превосходить суммы максимальных ошибок измерений обоих диаметров и величины минимального допустимого зазора между рассматриваемыми деталями.
Однако в более сложных случаях использование такой характеристики сопряжено с большими неудобствами, так как приводит к очень грубым оценкам точности. Покажем это для случая, когда ошибка о распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, а = 0и заданным стандартным отклонением у, и определим, с какой вероятностьюможно ожидать того, что модуль ошибки о не превзойдет некоторой величины Д.
Из определения (1.5.1) функции распределения Fix) вытекает, что для любой непрерывной случайной величины f следует
Отсюда, пользуясь выражением (1.5.7) для функции нормального распределения, находим, что при а = О справедливо
Далее, из выражения (1.5.8) для следует, что . Поэтому
Таким образом, вероятность того, что зависит только от отношения к величине Д к среднему квадратическому значению у ошибки о.
В таблице 1.7.1 помещены вычисленные по формуле (1.7.3) значения в зависимости от величины
при нормальном распределении ошибок и а = 0.
Таблица 1.7.1. Зависимость вероятностиот величины &=Д/у при нормальном (с а=0) и произвольном распределениях ошибок о
Из таблицы видно, что при нормальном распределении ошибок о величина быстро убывает с увеличением к. Так, при в среднем лишь в 3 случаях из 1000 можно ожидать того, что При это будет иметь место в 6 случаях из 100000, а прислучаях из 10000 000! Таким образом, привероятностьблизка к вероятности погибнуть в транспортной катастрофе на улицах города со многомиллионным населением в течение ближайших нескольких дней. Как известно, подобной вероятностью большинство людей в обыденной жизни пренебрегают!
Исходя из приведенных выше соображений, на практике обычно пренебрегают редкой возможностью появления очень больших ошибок о ив качестве максимального значения Д модуля о принимают величину, для которой вероятность достаточно велика. Эту вероятность обычно называют надежностью принятого максимального значения Д ошибки о и обозначают через . При этом возможны следующие два подхода к оценке точности рассматриваемой величины X:
задаются некоторой надежностью (Д), и в качестве характеристики точности используют соответствующее значениемаксимальной ошибки;
задаются величиной Д максимальной ошибки и характеризуют точность соответствующей надежностью До сих пор мы исходили из допущения о нормальности распределения ошибок |. Если отказаться от этого допущения, то можно для определения зависимости #{Д) воспользоваться известным неравенством Чебышева:
справедливым при любом распределении ошибок о [7]. Здесь у -- стандартное отклонение о, называемое обычно средней квадратической ошибкой.
В последней строке таблицы 1.7.1 приведены полученные при помощи этого неравенства минимальные значения надежности #(Д), соответствующие определенным образом выбранному наихудшему с рассматриваемой точки зрения распределению ошибок о. Из таблицы 'видно, что переход от нормального распределения к. произвольному может существенно (на несколько порядков) ухудшить зависимость
Из зависимостей (1.7.3) и (1.7.4) видно, что как при нормальном, так и при произвольном распределении величины о максимальная ошибка Д определяется выражением,
где коэффициент к зависит от принятой надежности . Поэтому при решении прикладных задач в, качестве характеристики точности обычно используют среднюю квадратическую ошибку. При необходимости оценить соответствующее максимальное значение ошибки Д пользуются равенством (1.7.5). При этом в большинстве задач полагают к = 3, что для нормального распределения ошибок соответствует надежности #(Д) « 0,997.
При выводе зависимости (1.7.5) мы предполагаем, что математическое ожидание ошибки
Если это условие не выполняется, но величина известна, то можно всегда перейти к случаю справедливости равенства (1.7.6) путем замены измеренного значения X величинойw Действительно, ошибка этой величины , а математическое ожидание этой ошибки
Однако во многих задачах точное значение неизвестно, а может быть указана лишь верхняя граница т его модуля, удовлетворяющая неравенству
В этом случае исключить влияние математического ожидания ошибки не представляется возможным. Для учета этого влияния при решении прикладных задач часто прибегают к одному из следующих двух приемов:
Добавляют величину т к вычисляемой по формуле (1.7.5) максимальной ошибке и. определяют последнюю выражением
Пользуясь зависимостью (1.6.8), находят максимальное значение Ртах математического ожидания квадрата ошибки о:
и определяют максимальную ошибку Д по формуле, аналогичной зависимости (1.7.5),
При этом в обоих случаях определение коэффициента к для заданной надежности #(Д) производится описанным выше способом (для нормального и произвольного распределений ошибок).
Формулы (1.7.8) и (1.7.10) являются приближенными и дают, вообще говоря, завышенное значение максимальной ошибки Д при заданной ее надежности Я (или заниженное значение Я при заданном Д); Точная зависимость между Я и Д в рассматриваемых условиях для нормального и произвольного распределений ошибок о дана в [4].
Рассмотрим в качестве примера задачу определения некоторого параметра X, представляющего собой сумму з величинПри этом все Хг измеряются и находятся их измеренные значения Х{, по которымвычисляется соответствующая величина
Требуется охарактеризовать ошибку найденной величины в предположении, что все ошибки о = величин Х{ удовлетворяют неравенству
(1.7.11) где-- заданное число»
Таким образом, мы нашли основные числовые характеристики ошибки о величины X. Постараемся теперь от этих характеристик перейти к ожидаемым максимальным значениям этой ошибки. Для этого воспользуемся центральной предельной теоремой теории вероятностей, согласно которой распределение суммарной ошибки о при большем з близко к нормальному. Основываясь на этом, будем в дальнейшем полагать, что ошибка о приближенно распределена по нормальному закону. Из зависимостей следует, что основные параметры этого распределения
Пользуясь приведенными выше результатами и принимая к = 3, находим, что с надежностью З = 0,997 осуществляется неравенство
Из этой зависимости видно, что при большом числе з можно с незначительным риском существенно уменьшить определяемое правой частью неравенства (1.7.13) значение максимума модуля ошибки . Так, при и = 100 оно уменьшается примерно в шесть раз.
Следует отметить, что переход от неравенства (1.7.13) к неравенству (1.7.17) обоснован лишь при некоторых дополнительных допущениях об ошибках о<. Основными из них являются:
симметричность распределений величин |< относительно точки приводящая к равенству нулю математических ожиданий этих ошибок;
взаимная независимость ошибок о*, приводящая к их частичному взаимному исключению при суммировании по формуле (1.7.12).
Вопрос о влиянии возможных отклонений от этих допущений при оценке точности решений аналогичных задач рассмотрен в следующей главе. При этом оказывается, что даже малые отклонения от принятых допущений могут при большом числе з существенно ухудшить точность конечного результата. Таким образом, здесь, как и всюду в мире, ничего не дается само собой: для существенного уменьшения максимального значения ошибки о нужны дополнительные сведения об ошибках.