Соболев фазосида оптимал интерполяция формулаларини қуриш

3.4-масала. (3.107) тенгламани қаноатлантирувчи , коеффициентларни қўзғалмас тугунларда топинг.
Ушбу бўлимнинг асосий мақсади фазода (3.104) шаклнинг оптимал интерполяция формуласини қуришдир. Биринчи марта бундай турдаги муаммо С.Л. томонидан қўйилган ва ўрганилган. Унда фазода экстремал интерполяция формуласи топилган.
3.6.1. Экстремал функция ва хатолик функсионали нормаси
фазо Гилберт фазоси бўлгани учун чизиқли функсионалнинг умумий шакли бўйича Рисс теоремаси бўйича ва экстремал функция таърифини ҳисобга олган ҳолда бизда қуйдагига эга бўлдик.


Шунинг учун (3.106) дан фойдаланиб биз ни оламиз



(3.108)
Свёрткани ҳисоблаймиз :




. (3.109)
Кейин (3.109) ни (3.108) га алмаштириб, биз кетма-кет ҳосил қиламиз











Демак, бу тенг функция эканлигини ҳисобга олсак, бизда мавжуд



(3.110)
Шундай қилиб, 3.3-масала ҳал қилинди.

Кейинги параграфларда 3.4-масаланинг ечимини келтирамиз.

3.6.2. Оптимал интерполяция формуласининг мавжудлиги ва ягоналиги
Фараз қилайлик, (3.104) интерполяция формуласининг -тугун нуқталари қатъий белгиланган. (3.106) хатолик функсионал 222 шартларни қоноатлантиради.
Хатолик функсионали нормаси , коеффициентларга нисбатан кўп ўзгарувчилар функция си. шартдаги (3.110) ифоданинг шартли минимал нуқтасини топиш учун Лагранж усулидан фойдаланамиз.
Функцияни кўриб чиқамиз


функция нинг ҳусусий ҳосилаларини , га ва нолга тенглаштириб, қуйидаги чизиқли тенгламалар тизимини оламиз:

(3.111)

(3.112)

(3.113)
(3.114)
(3.111)-(3.14) система оптимал коеффициентлар учун дискрет Wиенер-Ҳопф типидаги система дейилади [15, 113]. Ушбу тизимда , va , коеффициентлари номаълум. (3.111)-(3.114) системаси ўзига хос ечимга эга ва бу ечим 2 бўлганда (3.111)-(3.114) шартларда учун минимумни беради. Бу эрда (3.111)-(3.114) система ечимининг мавжудлиги ва ягоналиги исботини эътибордан четда қолдирамиз, чунки бу системани исботлаш дискрет система ечимининг мавжудлиги ва ягоналигини исботлаш каби амалга оширилади.
Шундай қилиб, тугунларининг собит қийматларида , va , коеффициентларининг квадратик функцияси бўлган хатолик функционали нормасининг квадрати баъзи бир қийматлар учун битта минимал, , , va , . га эга.
Кейинчалик, қулайлик учун биз коеффициентлар учун олдинги ёзувни сақлаб қоламиз
, , и т. е. , , .