Соболев фазосида оптимал интерполяция формулаларини қуриш

Соболев фазосида оптимал интерполяция формулаларини қуриш
Ушбу бўлимда фазода оптимал интерполяция учун формулалар дифференсиал операторнинг дискрет аналоги ёрдамида тузилган. Шунингдек, оптимал интерполяция формуласининг коеффициентлари учун аниқ формулаларни оламиз.
Масаланинг қўйилиши. Айтайлик, бизда қиймат, нуқтада функция ва сегментнинг сўнгги нуқталарида та қийматлари жадвали мавжуд. функция ларни бошқа, соддароқ функция лар билан қуйидагича тахмин қилиш керак:
. (3.104)
Бу ерда , , , , , мос равишда (3.104) интерполяция формуласининг коеффициентлари ва тугунлари.
Энди, Соболев [74] га амал қилиб, биз оптимал интерполяция формуласини қуриш масаласини қўямиз.
Фараз қилайлик, функциялар Соболев фазосига тегишли.
Интерполяция формуласининг хатолиги (3.104) шаклга эга
(3.105)
бунда - Дираканинг делта функция си

(3.106)
(3.104) фазога тегишли интерполяция формуласининг хатолик функсионали.
Бундан ташқари, қулайлик учун биз ni деб белгилаймиз ва ушбу бўлимда (3.106) функционалдир.
(3.105) хатоликнинг абсалют қиймати Коши-Шварс тенгсизлиги ёрдамида қуйидагича баҳоланади:

бунда
Шунинг учун - фазодан функция лар учун интерполяция формуласининг (3.105) хатосини баҳолаш учун - қўшма фазода - функсионал хатолик нормасини топиш керак. Бу эрдан қуйидаги масалалар келиб чиқади.
3.3-топшириқ. (3.105) Интерполяция формуласининг - хатолик функсионали нормасини фазода топиш.
Шубҳасиз, хатолик функционали нормаси , , тугун коеффициентларига боғлиқ. , коеффициентлари бўйича қийматини минималлаштириш вазифаси чизиқли муаммодир ва тугунлари бўйича, умуман олганда, вазифа чизиқли бўлмаган ва жуда қийин.
Рухсат этилган тугун нуқталар билан , коеффициентлари бўйича қийматини минималлаштириш муаммосини кўриб чиқинг.
Тенгламани қаноатлантирадиган коеффициентлар (агар мавжуд бўлса).
, (3.107)
оптимал коеффициентлар дейилади
Шундай қилиб, фазода (3.104) кўринишнинг оптимал интерполяция формуласини қуриш учун қуйидаги масалани ечиш керак.