Sodda ratsional kasrlar va ularni integrallash

Sodda ratsional kasrlar va ularni integrallash. Sodda ratsional kasrlar deb nomlanadigan kasrlar asosan to‘rt xil bo‘ladi. Ratsional funksiyalarni integrallash shu to‘rt xil sodda kasrlarni integrallashga keltiriladi. Shu sababli bu to‘rt xil kasrni integrallash masalasi alohida ahamiyat kasb etadi. Ularning ko‘rinishi quyidagicha:
, , va ,
bunda A, M, N, a, p va q lar haqiqiy sonlar, k>1natural son va p²-4q<0 deb hisoblanadi.
Endi yuqoridagi kasrlarni integrallash masalasiga o‘tamiz.
a) ni integrallash quyidagicha amalga oshiriladi:
=A =Aln|x-a|+C.
b) ni integrallaymiz (k>1).
=A (x-a)^-kd(x-a)=A +C= +C.
c) ni integrallash (p²-4q<0) suratida mahrajining differensialini ajratib olish va mahrajini kvadratlar yig‘indisiga keltirish orqali jadvaldagi integrallarga keltiriladi.
=

d) (k>1) sodda kasrni integrallash uchun x+p/2=z almashtirish bajaramiz, bundan dx=dz, x²+px+q=(x+p/2)²+q-p²/4=z²+a², bu yerda a²=q-p²/4. U holda
bo‘ladi. Ravshanki,
Demak,
I_k= integralni hisoblash kifoya bo‘ladi.
I_k= . Bu yerda =I_k-1 ekanligini e’tiborga olsak,
I_k= (1)
bo‘ladi.
Endi ni bo‘laklab integrallaymiz.
= = =
So‘ngi topilgan ifodani (1) formulaga qo‘yamiz, natijada
(2)
(2) rekurrent formula deb ataladi. va almashtirishlarga qaytib, izlanayotgan integralni topamiz.
bilgan holda (2) formula yordamida integralni hisoblash mumkin. Haqiqatan ham,

Shunday qilib, biz barcha sodda kasrlarni integrallash formulalarini hosil qildik.
Endi ratsional kasr funksiyalarni integrallash qoidasini keltiramiz. Ratsional kasrni integrallash uchun quyidagi ishlarni bajarish lozim:
1) agar qaralayotgan ratsional kasr noto‘g‘ri (nm) bo‘lsa, u holda uni ko‘phad va to‘g‘ri ratsional kasr yig‘indisi ko‘rinishda ifodalab olamiz:
, k<m;
2) agar qaralayotgan ratsional kasr to‘g‘ri (n ) bo‘lsa, u holda uni (8) formula yordamida sodda kasrlarga yoyyamiz;
3) ratsional kasr integralini uning butun qismi va sodda ratsional kasrlar integrallari yig‘indisi ko‘rinishida yozib olamiz va har bir integralni hisoblaymiz.
Noma’lum koeffitsientlarni topganimizdan keyin ratsional kasrni integrallash masalasi yuqoridagi ayniyatda qatnashgan sodda kasrlarni integrallash masalasiga keltiriladi.
1-misol. hisoblang.
Yechish. Integral ostidagi funksiya to‘g‘ri kasrdan iborat. Uni quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz:
.
Bundan x³+1=A(x-1)³+Bx(x-1)²+Cx(x-1)+Dx kelib chiqadi. Endi x o‘zgaruvchiga 0, 1, 2 va -1 qiymatlar berib, quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

Bundan A=-1, B=2, C=1, D=2 ni topamiz.
Demak,
.
Ratsional kasr funktsiyalarni integrallash
Yuqorida aytilganlardan kelib chiqadiki,  rаtsiоnаl kаsr funksiyani integrаllаsh quyidagi tartibda amalga oshiriladi:
1)  berilgan ratsional kasrning  to‘g‘ri yoki nоto‘g‘ri kаsr ekаnini tekshirish; agar kasr nоto‘g‘ri bo‘lsa, kasrdan  butun qismini аjrаtish;
2)  to‘g‘ri kasrning maxrajini ko‘paytuvchilarga ajratish;
3)  to‘g‘ri kаsrni sodda kаsrlаr yig‘indisigа yoyish va yoyilmаning kоeffitsiyentlаrni topish;
4)  hosil bo‘lgan ko‘phad va sodda kasrlar yig‘indisini integrаllаsh.
Misol
integrаlni topamiz.
nо to‘g‘ri  kasr, chunki 
Suratni maxrajga bo‘lish orqali kasrdan butun qismini ajratamiz:



Bundan

To‘g‘ri  kasrning maxrajini ko‘paytuvchilarga ajratamiz:

To‘g‘ri  kasrni sodda kasrlar ga yoyamiz:

Yoyilmaning koeffitsiyentlarini topamiz:

Bundan

yoki
Shunday qilib,

Ko‘phad va sodda kasrlar yig‘indisini integrаllаymiz: