Sonlarning eng kichik umumiy karralisi va eng katta umumiy bo’luvchisi, ularning asosiy xossalari va topish

Sonlarning EKUB va EKUKi xossalari.

a soni a dan katta bo’lgan bo’luvchiga ega bo’lishi mumkin bo’lmaganidan, bu sonning barcha bo’luvchilari 1 va a sonlari orasida bo’ladi va demak, a soni bo’luvchilarining soni cheklidir.

Ikki natural son a va b ni olamiz. Bular umumiy bo’luvchi 1 ga ega; a va b sonlarning birdan boshqa umumiy bo’luvchilari bo’lishi mumkin. а va b sonlarning bo’luvchilari soni chekli bo’lganidan ularning umumiy bo’luvchilarining soni ham cheklidir. Demak, agar bu umumiy bo’luvchilar bir nechta bo’lsa, ularning orasida eng kattasi bor va shu bilan birga bittadir.
Ta’rif. Ikki sonning eng katta umumiy bo’luvchisi deb berilgan sonlar umumiy bo’luvchilarining eng kattasiga aytiladi. Ikki natural sonning eng katta umumiy bo’luvchisi mavjud ekanini yuqorida ko’rsatdik. a va b sonlarning eng katta umumiy bo’luvchisi bunday belgilanadi: (a, b).
Misol. 816 va 323 sonlarning EKUBini topish talab etilsin. Bu erda Yevklid algoritmi EKUB ni topish uchun xizmat qiladi. Odatda EKUB ni topish vaqtida hisoblashlarni bunday joylashtiriladi:



r_i qoldiq 17 dir. Demak, (816, 323) = 17,

EKUB xossalari

1- teorema, a va b sonlarni ularning EKUB siga bo’lishdan hosil bo’lgan bo’linmalar o’zaro tub sonlar, ya’ni va
sonlar o’zaro tub sonlardir.
2- teorema, a va b sonlarning har qanday umumiy bo’luvchisi ularning EKUBlarining ham bo’luvchisidir.

3- teorema. Agar a=ud va b=vd, shu bilan birga u va v sonlarning EKUBi 1 ga teng bo’lsa, bu holda: (a, b) = d

bo’ladi, ya’ni agar a va b sonlarni d ga bo’lishdan hosil bo’lgan bo’linmalar o’zaro tub sonlar bo’lsa, bu vaqtda d son a va b sonlarning EKUBidir.
4- teorema. Agar berilgan sonlardan har birini qandaydir songa bo’lsak, bu vaqtda bu sonlarning EKUBi ham o’sha songa bo’linadi, ya’ni agar
(а, b) = d, а:  va b:  d bo’lsa, bu holda:

5-teorema. Agar berilgan sonlarni o’zgarmas songa ko’paytirsak bu vaqtda
bularning EKUB lari ham shu songa ko’payadi, ya’ni agar (a, b) = d bo’lsa, (am,
bm)= dm bo’ladi.
6- teorema. Agar ab ko’paytma c ga bo’linsa hamda a va c sonlar o’zaro tub sonlar, ya’ni (a, c) = I, bo’lsa, bu holda b soni c ga bo’linadi.

7- teorema. Agar ikki son uchinchi son bilan o’zaro tub bo’lsa, bu holda ularning ko’paytmasi ham o’sha uchinchi son bilan o’zaro tub son bo’ladi,

ya’ni agar (a, c)=1 va (b, c)=1 bo’lsa, bu vaqtda (ab, c)=1 bo’ladi.
8- teorema. Natural sonlarning ikkita а₁,a₂,…a_n va b₁, b₂,…b_n
to’plami berilgan bo’lib, shu bilan birga (a_k ,b_n)=1, ya’ni a_k ning har bir soni b₁ ning har bir soni bilan o’zaro tub sonlar bo’lsin, bu vaqtda (а₁,a₂,…a_n, b₁, b₂,…b_n )=1 bo’ladi.
9-teorema. Agar c son a va b sonlarga bo’linsa, shu bilan birga a va b o’zaro tub conlar bo’lsa [(a, b)=1], bu vaqtda c son ab ga bo’linadi.