Sonli differentsiallash umumiy mulohazalar

Teorema. Faraz qilaylik, nuqta tugunlarni o‘z ichiga oladigan eng kichik oraliqniig tashqarisida yotsin. Agar funktsiya interpolyatsiya tugunlari va nuqtani o‘z ichiga oladigan eng kichik oraliqda - tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsa, u holda shunday nuqta mavjudki, ixtiyoriy uchun
(16.12)
tenglik o‘rinlidir.
Isbot. Yordamchi
(16.13)
funktsiya olamiz, bu yerda o‘zgarmas bo‘lib, uni keyinroq aiiqlaymiz. funktsiya oraliqda - tartibli uzluksiz hosilaga ega va tugunlarda nolga aylanadi, shuning uchun ham Roll teoremasiga ko‘ra: oraliqda kamida ta har xil ildizlarga, kamida ta va hokazo, esa kamida ta har xil ildizlarga egadir. Endi doimiy ni shunday tanlaymizki, da , ya'ni
(16.14)
bo‘lsin. ni shunday tanlashga haqlimiz, chunki ning barcha ta ildizlari oraliqda, esa dan tashqarida yotadi va demak, . (16.14) dan ni topamiz:
(16.15)
ning bu qiymatida hosila oraliqda kamida ta turli ildizlarga ega. Roll teoremasiga ko‘ra ichida kamida ta, kamida ta va hokazo, esa da kamida bitta ildizga ega: , ya'ni

Bundan esa

ning bu qiymatini (16.15) bilan solishtirsak, teoremaningtasdig‘i kelib chiqadi.
Lagranj interpolyatsion ko‘phadi yordamida sonli differentsiallash. Yuqoridagi (16.4) tenglikdagi sifatida Lagranj interpolyatsion ko‘phadini olaylik:
(16.16)
bu yerda
.
(16.16) tenglikdan
(16.17)
Oxirgi tenglikda faqat ikkita holda, ya'ni va bo‘lgandagina

ko‘paytma noldan farqlidir. Shuning uchun ham,
Demak,
(16.18)
Agar bo‘lsa, bo‘lganligi uchun, deb olib, quyidagiga ega bo‘lamiz:
(16.19)
Qoldiq had esa (16.9) formulaga ko‘ra
(16.20)
Endi (16.19) — (16.20) formulalar yordamida ning turli qiymatlarida hosila uchun formulalar chiqaramiz. .
(tugunlar uchta) bo‘lganda:


(tugunlar to‘rtta) bo‘lganda:

(tugunlar beshta) bo‘lganda:

Agar bu formulalarga e'tibor berilsa, juft bo‘lganda o‘rta nuqtalardagi hosilalar ifodalarining nisbatan sodda ekanliklarini ko‘rish mumkin. Shu bilan birga qoldiq hadlardagi hosila oldidagi koeffitsiyentlari ham kichikdir. Shuning uchun ham amalda, mumkin qadar shu formulalarni qo‘llashga harakat qilish kerak. Endi (16.10) — (16.11) dan da ikkinchi hosilalar uchun quyidagi ifodalarni chiqaramiz: .

Bu yerda ham o‘rta nuqtalarda hosilaning xatosi eng kichik bo‘ladi.