Sonli differentsiallash umumiy mulohazalar

16- §. SONLI DIFFERENTSIALLASH
Umumiy mulohazalar. Ko‘p amaliy masalalarda funktsiya hosilalarini ayrim nuqtalarda taqribiy hisoblashga to‘g‘ri keladi. Bu masala sonli differentsiallash masalasi deyiladi. Funktsiyaning analitik ko‘rinishi noma'lum bo‘lib uning ayrim nuqtalardagi qiymatlari ma'lum bo‘lsa, masalan, tajribadan topilgan bo‘lsa, u holda uning hosilasi sonli differentsiallash yo‘li bilan topiladi. Umuman aytganda, funktsiyani sonli differentsiallash masalasi doimo bir qiymatli ravishda yechilavermaydi. Masalan, funktsiyaning nuqtadagi hosilasini topish uchun ni olib,
(16.1)
yoki
(16.2)
yoki
(16.3)
kabi olishimiz mumkin. Ko‘pincha (16.1) o‘ng hosila, (16.2) chap hosila va (16.3) markaziy hosila deyiladi.
Sonli differenpiallash usullari odatda interpolyatsion formulalarga asoslangan. Faraz qilaylik, oraliqda -tartibgacha hosilalari uzluksiz bo‘lgan funktsiya berilgan bo‘lsin. Uni
(16.4)
ko‘rinishda tasvirlaymiz. Bu yerda tugunlar bo‘yicha tuzilgan qandaydir interpolyatsion ko‘phad bo‘lib, uning qoldiq hadi quyidagiga teng:
(16.5)
(16.6)
Odatda (16.4) tenglikni differentsiallab, taqribiy ravishda
(16.7)
deb olinadi. Bu taqribiy tengliklarning absolyut xatolari mos ravishda

ifodalarning absolyut qiymatlariga teng bo‘ladi. Lekin absolyut xatoni amalda har doim ham aniqlash yengil ish emas. Haqiqatan ham, (16.5) dan
(16.8)
ga ega bo‘lamiz. Bu tenglikda ning ga qanday tarzda bog‘liqligini bilmaganligimiz uchun, ikkinchi hadni baholay olmaymiz. Bizga faqat shu narsa ma'lumki, interpolyatsiya nuqtalarida ikkinchi had nolga teng.
Shunday qilib,

ning absolyut xatosini faqat interpolyatsiya tugunidagina aniqlay olamiz:
(16.9)
Yuqori tartibli hosilalar qoldiq hadlarining ko‘rinishi ancha murakkabdir. Masalan, ikkinchi tartibli
(16.10)
hosilaning qoldiq hadi quyidagi ko‘rinishga ega:
(16.11)
Buning isbotini, masalan, dan qarash mumkin. Bu formulada va lar, nuqtalarni o‘z ichiga oladigan eng kichik oraliqning qandaydir nuqtalaridir. Agar nuqta tugunlarning birortasi bilan ustma-ust tushsa, u holda (16.11) ning o‘ng tomoni soddalashadi va oxirgi had nolga aylanadi.
Quyidagi teoremani keltiramiz.