Sonli differentsiallash umumiy mulohazalar

Nyuton formulasi yordamida sonli differentsiallash.
Interpolyatsiya tugunlari teng uzoqlikda joylashgan bo‘lsa, u holda sonli differentsiallashda Nьyuton, Bessel, Stirling, Everett formulalaridan foydalanish mumkin.
Nyuton birinchi interpolyatsion formulasidan foydalanaylik:

Bu ko‘phad hadlarini gruppalab, uni ning darajasi bo‘yicha yozib chiqamiz:
(16.21)
Bu yerda qavs ichida faqat beshinchi tartibligacha chekli ayirmalar qatnashadiganlarigina yozildi, amaliyotda shu yetarli bo‘ladi. Ikkinchi tomondan ni Teylor formulasi bo‘yicha ifodalasak:
(16.22)
Endi (16.22) ni (16.21) bilan taqqoslasak:

So‘ngra uchun

ni hisobga olgan holda nuqtada sonli differentsiallash uchun quyidagi formulalarga ega bo‘lamiz:

Aniqmas koeffitsiyentlar metodi. Agar tugunlar ixtiyoriy ravishda joylashgan bo‘lsa, Lagranj ko‘phadidan foydalanmasdan, amalda ancha qulay bo‘lgan aniqmas koeffitsiyentlar metodidan foydalanish mumkin. Faraz qilaylik, ning hosilalari ni nuqtalarda lar orqali ifodalash kerak bo‘lsin. Buning uchun izlanayotgan formulani

shaklda yozamiz va larni shunday tanlaymizki, u -darajali ko‘phad uchun aniq formulaga aylansin, ya'ni

bo‘lganda bo‘lsin. Bu shartlar bizga larga nisbatan ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini beradi.
M i s o l. ni ning nuqtalardagi qiymatlari orqali ifodalaymiz. .
Ye ch i sh. Buning uchun

tenglikka ketma-ket

larni qo‘yamiz:

Soddalashtirsak,

hosil bo‘ladi.
Bu sistemani yechish uchun tenglamani tenglamadan ayiramiz, unda ga ega bo‘lamiz, keyin ni ga qo‘yib, ni topamiz. Bularni va larga qo‘yib, va larni aniqlaymiz. Nihoyat, bularni ikkinchi tenglamaga qo‘yib,

larii topamiz. Nihoyat

kelib chiqadi. Bu esa Lagranj formulasi yordamida avval topilgan ifoda bilan qoldiq hadsiz ustma-ust tushad.