Sonli to’plamlar. Natural sonlar. Tub va murakkab sonlar. Arifmetikaning asosiy teoremasi. Tub sonlar to’plamining cheksizligi. O’zaro tub sonlar. Bo’linish alomatlari. Ekuk va ekub. Evklid algoritmi. Natural sonlarning bo’luvchilari soni

Sonlarning 9 ga va 3 ga bo’linish belgilari.
9 ga va 3 ga karrali sonlar qatorini yozaylik:
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, ...
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, ...
Bu sonlar qatoridan ko'rinadiki, 9 ga (3 ga) bo'linadigan sonlarning oxirgi raqamlari 0,1,2, ... , 9 bo'lishi mumkin ekan. Demak, sonlarning 9 ga va 3 ga bo'linish belgilarini ularning oxirgi raqami bo'yicha keltirib chiqarish mumkin emas. Binobarin, sonlarning 9 ga va 3 ga bo'linish belgilarini sonlar­ning boshqa xususiyatlaridan izlash zarur bo'ladi.
To'qqizga karrali bo'lgan 9, 99, 999, 9999, sonlarning 9 ga qoldiqsiz bo'linishi ayon. 873 soni n ing 9 ga bo'linish yoki bo'linmasligini ko'raylik. Buning uchun sonni sinflar yig'indisi ko'rinishida yozamiz: 873 = 800 +70 + 3 va hosil bo'lgan yig'in-dida qo'shiluvchilarning 9 ga bo'linish-bo'linmasligini aniqlaymiz.
Ko'rinib turibdiki, qoldiqlar yig'indisi berilgan son — 873 ning xona raqamlari yig'indisi 8 + 7 + + 3 = 18 dan iborat. 18 esa 9 ga bo'linadi: 18:9 = 2. Shu 2 soni to'liqsiz bo'linma 95 ga qo'shilib, 97 bo'linmani beradi. Qoldiq esa 0 bo'ladi. Demak, 873:9=97. Shuningdek, 873 sonining 9 ga bo'linishiga uni 9 ga karrali sonlar yig'indisi shaklida yozib ham ishonch hosil qilish mumkin:
873 = 800 + 70 + 3 = 8 • 100 + 7 • 10 + 3 = (8 • 99 + 8) + 7-9 +7+ 3 = 99-8 + 7-9 +(8+ 7 +3).
Dastlabki ikki qo'shiluvchining har biri 9 ga bo'linishi ravshan. Demak, ularning yig'indisi ham 9 ga bo'linadi.
Shunday qilib, 873 ning 9 ga bo'linishi (8 + 7 + 3) ning 9 ga bo'linishi yoki bo'linmasligiga bog'liq. Agar (8 + 7 + 3) yig'indi 9 ga bo'linsa, u holda 873 soni 9 ga bo'linadigan uchta qo'shiluvchi ko'rinishida tasvirlangan bo'ladi. Har bir qo'shiluvchi 9 ga bo'lingani uchun 873 ham 9 ga bo'linadi. 8 + 7 + 3 — berilgan 873 sonining raqamlari yig'indisidir. 8 + 7 + 3 = 18 = 2• 9-9 ga bo'linadi.
1 - m i s o 1. 464238 sonining raqamlari yig'indisi 27 ga teng. 27 esa 9 ga bo'linadi. Demak, berilgan son ham 9 ga bo'linadi. Bunga bevosita ishonch hosil qilish mumkin.
Demak, berilgan son raqamlarining yig'indisi 9 ga bo'linsa, bunday sonlar 9 ga bo'linadi. Agar sonning raqamlari yig'indisi 9 ga bo'linmasa, bunday sonlar 9 ga bo'linmaydi.
2-misol. 222959718 soni 9 ga bo'linadi, chunki bu son raqamlarining yig'indisi 2 + 2 + 2 + + 9 + 5 + 9 + 7 + 1+8 = 45 soni 9 ga bo'linadi.
3-misol. 1238 soni 9 ga bo'linmaydi, chunki uning raqamlari yig'indisi 14 ga teng, 14 esa 9 ga bo'linmaydi.
4-misol. 206967932 soni 9 ga bo'linmaydi, chunki bu son raqamlarining yig'indisi 2 + 0 + 6 + + 9 + 6 + 7 + 9 + 3 + 2 = 44 soni 9 ga bo'linmaydi.
3 ga bo'linish belgisini ham xuddi yuqoridagi kabi keltirib chiqarish mumkin.
5 - miso1. 130976358 soni 3 ga bo'linadi, chunki bu sonning raqamlari yig'indisi 1 + 3 + 0 + 9 + 7 + + 6 + 3 + 5 + 8 = 42. Bu son esa 3 ga bo'linadi.
Raqamlarining yig'indisi 3 ga bo'linadigan sonlar 3 ga bo'linadi.
Agar sonning raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linmasa, bunday sonlar 3 ga bo'linmaydi.
6-misol. 226729 soni 3 ga bo'linmaydi, chunki bu son raqamlarining yig'indisi 2 + 2 + 6 + 7 + 2 + + 9 = 28 soni 3 ga bo'linmaydi.
9 ga bo'linadigan barcha sonlar 3 ga, albatta bo'linadi.
5-ilova
EKUB va EKUKni topish.
28 va 70 sonlarining barcha bo'luvchilarini topaylik:
28 ning bo'luvchilari: 1, 2, 4, 7, 14, 28;
70 ning bo'luvchilari: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70.
Bu ikkala son uchun umumiy bo'luvchilar: 1,2 7 14.
28 va 70 sonlarining ikkalasi ham bu sonlarga bo'linadi. Agar 28 va 70 sonlarining tub ko'paytuvchilarga yoyilmasi: 28 = 2 • 2 • 7; 70 = 2 • 5 • 7 ni qarasak, yoyilmalarda 2 • 7 ko'rinishdagi umumiy ko'paytuvchi mavjud. 28 va 70 sonlari bu umumiy ko'paytuvchi 2• 7=14 ga bo'linadi va 14 berilgan sonlarning umumiy bo'luvchilari ichida eng kattasidir.
Berilgan sonlarning eng katta umumiy bo'luvchisi deb, shu sonlarning umumiy tub bo'luvchilari ko-paytmasiga aytiladi.
a va b sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisi EKUB(a,b) ko'rinishida belgilanadi. Bizning misolda EKUB(28, 70)= 14.
Berilgan sonlarning eng katta umumiy bo'luvchisini topishning 2 ta usulini keltiramiz.
1-usul
1-qadam. Berilgan sonlar tub ko'paytuvchilarga ajratiladi.
2-qadam. Har bir yoyilmadagi eng kichik daraja ko'rsatkichli umumiy tub ko'paytuvchilardan ko'paytma tuziladi. Agar sonlarning yoyilmalarida biror tub ko'paytuvchi bir xil daraja ko'rsatkichida qatnashsa, u o'sha daraja ko'rsatkichi bilan olinadi.
3-qadam.Hosil bo'lgan ko'paytmaning qiymati topiladi.
Natija berilgan sonlarning eng katta umumiy bo'luvchisi bo'ladi.
1- mi sol. EKUB (360, 540) ni toping.
1 - qadam.

360	2 540 2 270 2 135 3 45 3 15 3 5 5 1
80	2
90	2
45	3
15	3
5	5
1

360 =2•2•2•3•3•5=23•32•5; 540 =2•2•3•3•3•5 = 22•33•5.

2- qadam.2,3,5 nsonlar 360 va 540 sonlarining tub ko'paytuvchilaridir. Umumiy tub ko'paytuvchilarning 360 va 540 sonlarining yoyilmalaridagi eng kichik darajalari 22,32va 5 dir. Shu sonlarning ko'paytmasini tuzamiz:22•32•5.
3- qadam.EKUB(360,540)=22•32•5=180.
Uchta va undan ortiq sonlarning EKUB si ham shu usul bilan topiladi.
2- mi sol. EKUB(40,160) ni toping.
160 soni 40 ga bo'linadi. Agar ikki sondan biri ikkinchisiga bo'linsa, u holda shu sonning kichigi u larning EKUBsi bo'ladi. Bunday hollarda sonlarni tub ko'paytuvchilarga ajratishning hojati yo'q.
EKUB (40;160) = 40.
3- misol. EKUB (49, 54) ni toping.
49=7•7=72; 54=2•3•3•3=2•33 Bu sonlar umumiy tub ko'paytuvchilarga ega emas. Demak, 49 va 54 sonlarining 1 dan boshqa umumiy bo'luvchilari yo'q. Bu EKUB(49,54)=1 kabi yoziladi.
Agar sonlarning 1 dan boshqa umumiy bo'luvchllari bo'lmasa, ular o'zaro tub sonlar deyiladi.
6-ilova

2- usul Sonlarning EKUB ni topishning bu usuli Evklid algoritml (yoki ketma-ket bo'lish) nomini olgan. Uni quyidagi misolda tushuntiramiz.

1998 va 144 sonlarining EKUB si topilsin.
qadam.Sonlarning kattasini kichigiga bo'lamiz. 1998:144=13(126qoldiq).126—birinchi qoldiq bo'ladi: r1=126.
qadam.144 ni birinchi qoldiq 126 ga bo'lamiz. 144:126=1 (18 qoldiq). 18 — ikkinchi qoldiq,r2=18.
qadam. Birinchi qoldiq 126 ni ikkinchi qoldiq 18 ga bo'lamiz:126:18=7(0 qoldiq). Dastlab olingan ikkita son qanchalik katta bo'lmasin, ketma-ket bo'lishning bu jarayoni qoldiqlar kichiklashib borayotgani uchun chekli qadamdan so'ng albatta tugaydi — 0 qoldiq chiqadi. Demak, EKUB(1998,144)= 18.
4- misol. EKUB (288,135) ni toping.
1) 288:135=2 (18qoldiq),demak,288=2•135+18; r1=18.
135:18=7 (9qoldiq), demak, 135=7•18+9;r2=9.
18:9=2 — bo'lish jarayoni tugadi, demak,qoldiq 0.
Bunday ketma-ket bo'lish jarayoni qaysi qoldiqqa bo'lganimizda tugasa (qoldiq 0 bo'lsa), o'sha qoldiq berilgan ikki sonning EKUB bo'ladi.
Bizning misolda birinchi qoldiq 18, ikkinchi qol­diq 9 ga bo'linadi. Mana shu 9 soni 288 va 135 son­larining EKUB dir: EKUB (288, 135) = 9.
24 va 36 sonlarining karralilarini yozib chiqaylik: 24 ning karralilari: 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, ...
36 ning karralilari: 36, 72, 108,144,180,216, ...
Ko'rinib turibdiki, bu sonlar orasida ham 24 ga, ham 36 ga karrali bo'lganlari uchrayapti.
Bu sonlar 24 va 36 sonlarining umumiy karralilaridir. Bunday sonlar yuqoridagi sonlar qatorida ko'plab uchraydi. 24 va 36 sonlarining barcha umu­miy karralilarini 72 • n ko'rinishida yozish mumkin.
72 soni 24 ga ham, 36 ga ham bo'linadigan sonlar ichida eng kichigidir.
Berilgan a va b natural sonlarning har biriga bo'linadigan eng kichik natural son shu sonlarning eng kichik umumiy karralisi (bo'linuvchisi) deyiladi va EKUK (a, b) kabi belgilanadi. Masalan, EKUK (24,36) =72.
Eng kichik umumiy karrali ikki usul bilan topiladi.
1- usul. 24 ga karrali sonlarni yoza borib, ularning 36 ga bo'linish yoki bo'linmasligini tekshirib boramiz:
24•1=24 soni 36 ga bo'linmaydi; 24•2=48 soni 36 ga bo'linmaydi; 24•3=72 soni 36ga bo'linadi. Demak, EKUK(24,36)=72.
2 - usul. Berilgan sonlarni tub ko'paytuvchilarga ajratish usuli:
1 qadam. Berilgan sonlar tub ko'paytuvchilarga yoyiladi.
2 qadam.Yoyilmalarda qatnashgan barcha tub ko'paytuv-chilar ko'paytmasi tuziladi. Ularning har biriga yoyilmalardagi shu sonning eng katta darajasi qo'yib chiqiladi.
Agar sonlarning yoyilmasida biror tub ko'paytuvchi bir xil daraja ko'rsatkichida qatnashsa, ko'paytmaga o'sha daraja ko'rsatkichi bilan olinadi
3-qadam. Ko'paytmaning qiymati topiladi. Natija berilgan sonlarning EKUK bo'ladi.
misol.EKUK(45,84)ni toping.
1-qadam. 45 = 32 • 5; 84 = 22 • 3 • 7.
qadam. 2;3;5;7— bu yoyilmalardagi barcha tub ko'paytuvchilardir: EKUK(45,84) ham 45ga, ham 84 ga bo'linishi lozim bo'lgani uchun unda ikkala yoyilmadagi barcha tub ko'paytuvchilar qatnashadi. Ko'paytmaga 22,3.2 (chunki ular ikkala yoyilmada bor, ammo 45 ning yoyilmasida 3 eng
katta darajada qatnashgan), 5 va 7 kiradi.
qadam.Demak,EKUK(45,84)=22•32•5•7=1260.

Misollar: Abduhamidov A.U “Algebra va matematik analiz asoslari” I qism.

I bob §1,1-6,1.1.1-1.1.3,1.1.4