Sonli usullar va chiziqli dasturlash fanidan 7-topshiriq javoblari quyidagi nazariy savollarga to’liq javob bering

OMONOV SAYIDSHARIFXON

SONLI USULLAR VA CHIZIQLI DASTURLASH FANIDAN
7-TOPSHIRIQ JAVOBLARI

QUYIDAGI NAZARIY SAVOLLARGA TO’LIQ JAVOB BERING

1. 
   INTERPOLYATSIYA MASALASINING QO’YILISHI
   
2. 
   FUNKSIYANI INTERPOLYATSIYALASHDA HISOBLASH XATOLIGI
   

3. NYUTON INTERPOLYATSION KO’PHADI

Masalar qiyinlashgan sari yoki no’malumlar ko’paygan sari tenglamani turli xil usullariga ehtiyoj seziladi.Tenglamalar sistemasini yechish usulining yana bir usuli bu interpolyatsiya usulidir. Hozirgi vaqtda interpolyasiyalash tushunchasi juda keng ma’noda tushuniladi. Interpolyasiya masalasining mohiyati quyidagidan iborat. Faraz qilaylik, [a, b] oraliqda y = f (x) funksiya berilgan yoki hech bo’lmaganda uning . . . , qiymatlari ma’lum bo’lsin. Shu oraliqda aniqlangan va hisoblash uchun

qulay bo’lgan qandaydir funksiyalar { G(x) } sinfini, masalan, ko’phadlar sinfini olamiz. Berilgan y = f (x) funksiyani [a, b] oraliqda interpolyasiyalash masalasi shu funksiyani berilgan sinfning shunday G(x) funksiyasi bilan taqribiy ravishda
f (x) G(x) almashtirishdan iboratki, G(x) berilgan nuqtalarda f (x) bilan bir xil qiymatlarni qabul qilsin:

Bu yerda
G(x) esa interpolyatsiyalovchi funksiya deyiladi
Algebraik interpolyasiyalash hisoblash matematikasining ko’p sohalarida qo’llaniladi, chunonchi, differensiallash va integrallashda, transsendent, differensial va integral tenglamalarni yechishda, funksiya ekstremumini topishda, hamda funksiya jadvalini tuzishda
Ko’pincha funksiya interpolyatsiya usulida f (x) G(x) dan foydalaniladi shu sababli tenglama ildizlarini topishda xatolik kelib chiqadi.
NYUTON INTERPOLYASION FORMULALARI. interpolyasiya tugunlari teng uzoqlikda joylashgan holni, ya’ni bo’lgan holni qaraymiz. Bu holda interpolyatsion formulaning ko’rinishlari ancha soddalashadi. Biz hozir Nyutonning ikkita interpolyasion formulasini chiqaramiz. Bularning birinchisi funksiyani jadval boshida va ikkinchisi jadval oxirida interpolyasiyalash uchun mo’ljallangan.
Faraz qilaylik, tugunlar bo’yicha tuzilgan Nyuton interpolyasion ko’phadi bo’lsin:
.
Bundagi bo’lingan ayirmalarni chekli ayirmalar bilan almashtiraylik.
Ushbu almashtirishni ham bajargandan keyin (8) ko’phad quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

formula Nyutonning jadval boshidagi yoki interpolyatsion formulasi deyiladi.
Bu formulaning qoldiq hadi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

Endi formulada interpolyasiyalash tugunlari sifatida tugunlarni olamiz:


Bo’lingan ayirmalar o’z argumentining simmetrik funksiyasi bo’lganligi uchun
.
formulada yana bo’lingan ayirmalarni chekli ayirmalar bilan almashtirib va deb olib, quyidagini hosil qilamiz;
.
Bu formulaning qoldiq hadi

ko’rinishda bo’ladi.
Endi qoldiq had to’g’risida bir oz to’xtalib o’taylik. Ayrim hollarda, xususan qiymatlar tajriea yo’li bilan hosil qilingan bo’lsa, ni baholash ancha mushkul bo’ladi. Shuning uchun qo’pol bo’lsa ham, soddaroq yo’l bilan baholash ma’quldir. Qaralayotgan oralikda hosila , demak, ayirma ham sekin o’zgaradi deb faraz qilib, formula bilan berilgan qoldiq hadda qatnashuvchi hosilani ayirma bilan alamashtiramiz, natijada

hosil bo’ladi. Shuningdek formula o’rnida, quyidagi taqribiy, lekin qulay formulaga ega bo’lamiz:

1.