Sonli va funksional ketma-ketliklar. Ketma-ketlikning limiti, uzluksizligi, uzulish turlari

1.6. Monoton ketma-ketlikning yaqinlashishi haqidagi teoremalar.

1.2- teorema. Agar ketma-ketlik o’suvchi bo’lib, yuqoridan chegaralangan bo’lsa, u yaqinlashuvchi (chekli limitga ega) bo’ladi; agar ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan bo’lsa, u holda u uzoqlashuvchi (limiti ) bo’ladi.

1.3- teorema. Agar ketma-ketlik kamayuvchi bo’lib, quyidan chegaralangan bo’lsa, u yaqinlashuvchi (chekli limitga ega) bo’ladi; agar ketma-ketlik quyidan chegaralanmagan bo’lsa, u holda u uzoqlashuvchi (limiti ) bo’ladi.

Bu teoremalardan quyidagi natijalar kelib chiqadi.

1- natija. O’suvchi ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lishi uchun uning yuqoridan chegaralangan bo’lishi zarur va yetarli.

2- natija. Kamayuvchi ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lishi uchun uning quyidan chegaralangan bo’lishi zarur va yetarli.

Yuqoridagi teoremalarni birlashtirib, uni quyidagicha ham ifoda qilish mumkin.

1.4- teorema. Monoton ketma-ketlik yaqinlashuvchi (chekli limitga ega) bo’lishi uchun uning chegaralangan bo’lishi zarur va yetarli.

1- eslatma. Har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik monoton ketma-ketlik bo’lavermaydi. Masalan, ketma-ketlik monoton emas.

2- eslatma. Yuqoridagi teoremalardan quyidagi xulosani chiqarish mumkin. Yuqoridan chegaralangan o’suvchi ketma-ketlikning hamma hadlari uning limiti dan katta bo’la olmaydi. Xuddi shunday, quyidan chegaralangan kamayuvchi ketma-ketlikning hamma hadlari uning limiti dan kichik bo’la olmaydi.

1.5- teorema. Ikkita va ketma-ketliklar berilgan bo’lsin. Agar: 1) o’suvchi, kamayuvchi ketma-ketlik; 2) uchun ; 3) bo’lsa, va ketma-ketliklar yaqinlashuvchi va tenglik o’rinli bo’ladi. Bu teoremadan natija sifatida, quyidagi muhim, ichma-ich joylashgan segmentlar haqidagi teorema kelib chiqadi.

1.6- teorema. Agar munosabatda bo’lgan, segmentlar ketma-ketligi uchun shart o’rinli bo’lsa, u holda va ketma-ketliklar bitta limitga ega bo’ladi, hamda bu limit barcha segmentlarga tegishli bo’lgan yagona nuqta bo’ladi.

1.3- misol. Ushbu

(-ixtiyoriy haqiqiy son) (*)

tenglikni isbotlang.

Yechilishi. Ravshanki, bo’lganda, tenglik o’rinli.

Faraz qilaylik, bo’lsin. deb belgilaylik, u holda Bundan (-istalgancha katta) uchun yoki . Shunday qilib, ketma-ketlik uchun kamayuvchi va ekan. Demak, 1.3-teoremaga ko’ra, ketma-ketlik chekli limitga ega, ya’ni Ikkinchi tomondan .

Shunday qilib, (*) tenglik uchun isbotlandi. bo’lganda ham (*) tenglik o’rinli bo’ladi, chunki

1.4-misol. Ushbu ketma-ketlikning yaqinlashuvchiligini Koshi kriteriysi orqali ko’rsating.

Yechilishi. sonni olaylik. U holda, .

deb olinsa, u holda tengsizlik uchun bajariladi.

Shunday qilib, berilgan ketma-ketlik Koshi kriteriysiga ko’ra, yaqinlashuvchi bo’ladi.

Mavzuni o’zlashtirish darajasini tekshirish va mustahkamlash (10 daqiqa). Mavzu bo’yicha asosiy tushunchalar va tasdiqlar o’z ifodasini topgan o’z – o’zini tekshirish savollari va muammoli topshiriqlardan ba’zilari taklif etiladi va talabalarning javoblari eshitiladi, so’ngra, mavzu bo’yicha o’z– o’zini tekshirish savollariga javoblar yozish va muammoli topshiriqlarni bajarish talabalarga uyga vazifa sifatida beriladi (ular ma’ruza matnining oxirida keltirilgan).