Современное состояние и

---

---

Министерство по развитию информационных технологий и коммуникаций
Республики Узбекистан
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ЦИФРОВЫХ
ТЕХНОЛОГИЙ И ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА
САМАРКАНДСКИЙ ФИЛИАЛ
ТАШКЕНТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
ИМЕНИ МУХАММАДА АЛ-ХОРАЗМИЙ
СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И
ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ЦИФРОВЫХ
ТЕХНОЛОГИЙ И ИСКУССТВЕННОГО
ИНТЕЛЛЕКТА
Сборник докладов республиканской научно-технической конференции
Самарканд, 26-27 октября 2022 г.
ЧАСТЬ 2
Ташкент – 2022

---

Propagation of nonlinear population waves in space
65 
Секция 5. Алгоритмизация, моделирование и оптимизация 
UDC 519.71(575.1) 
PROPAGATION OF NONLINEAR POPULATION WAVES IN 
SPACE 
*
Mukhamedieva D.K., Madrakhimov A.Kh. 
*
[e-mail] 
Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad al-Khwarizmi, 
Tashkent, Uzbekistan 
Abstract. Locusts cause enormous damage to vegetation in many areas of the earth. A mathematical model of 
propagation of non-linear waves in space in various excitable media is constructed, since they describe the flight 
of gregarious locusts, the corresponding system of differential equations is qualitatively investigated, and a 
solution is found that corresponds to the flight regime of gregarious locusts. An analytical solution is obtained, 
and numerical studies are carried out. Simple approximate analytical expressions for calculating the propagation 
velocity of the locust population wave and its characteristic length are obtained. 
Keywords: Nonlinear equation, model, algorithm, diffusion, wave solutions, population. 
1 Introduction 
The processes that determine the dynamics of the number of any insects are associated with the 
interactions of two kingdoms of living organisms: plants and animals. For example, in [1] a model of 
locust transition to the active phase is considered, in [2] it is assumed that locust migration is 
completely determined by air currents, in [3] a creeping model of locust migration is constructed. 
To describe the flight of a swarm of locusts, parabolic systems of differential equations can be 
applied, since only they describe the propagation of nonlinear waves in space in various excitable 
media [4-8]. 
It should be noted that when solving systems of parabolic equations describing the propagation 
of nonlinear waves, it is necessary not only to prove the existence of wave solutions, but also to 
determine the wave velocity as an eigenvalue of the problem. 
For each wave model, the wave propagation velocity (as well as the flame propagation velocity 
in the theory of combustion [9] and, in the general case, in the study of equations of mathematical 
physics [10]) should be determined, based on this particular system of equations, as an eigenvalue of 
the problem, and this eigenvalue should correspond to the population wave profile as an eigenfunction 
of the problem. This is how the problems of the propagation of waves of biological populations are 
solved in [5,6,11]. 
The purpose of this study is to construct a system of differential equations with a wave solution, 
which describes the flight of a gregarious locust in the form of a solitary wave (soliton), and to find 
approximate analytical expressions for the propagation velocity of a soliton and its geometric 
dimensions as functions of defining parameters. 
2 Methods 
System of non-stationary equations describing in a one-dimensional setting the change in the 
concentration of the biological population N(x, t) and the food base R(x, t), averaging the discrete 
process of flight of the gregarious locust in space and time, can be written as [5, 8]: 
( )
N
N F N
t
x
x








,
(1) 

---

66 
Mukhamedieva D.K., Madrakhimov A.Kh.
Section 5. Algorithmization, modeling and optimization 
1
f
R
N
t


 

,
(2) 
Where t is time, x is spatial coordinate, τƒ–characteristic feeding time, μ–coefficient of locust 
mobility, F(N) is a function describing the local change in population concentration. In the logistic 
population (see [8]) F (N)=(B–D) N, where B and D are birth and death functions. It is the presence 
in the parabolic equation of the terms describing the increase and decrease in the population 
concentration that can ensure the existence of a stationary wave solution (see [5, 7]). A local decrease 
in the concentration of locust individuals in flight occurs due to the death of locusts for various 
reasons (diseases, their absorption by birds and even other individuals of the flock). Locusts do not 
multiply during the flight, but the natural decline of the swarm is the attraction of locusts to the swarm 
from the environment through special chemical products released by insects. In this regard, equation 
(1) can be rewritten in the form: 
1
1
(
)
c
e
N
N
N
t
x
x











, 
(3) 
where: τ
e
– characteristic lifetime of individuals in a population, τ
c
–characteristic time of population 
replenishment due to the desire of locust individuals to unite in a swarm. We will assume that τf, τc, 
τe are constant values. The coefficient of mobility of locust individuals μ increases with a decrease 
in the concentration of the food base [12]. 
0
R
K
R

,
(4) 
Let's call K
R
the unit concentration of the food supply, μ0 the coefficient of the mobility of 
individuals at a unit concentration of the food supply. 
We will consider the stationary mode of propagation of the locust population as a wave. If 
dimension less variable sand parameters: 
,
,
r
R
R
N
r
u
K
K


then equations (3) and (2) taking into account (4) take the following form: 
1
,
,0
t
rr
r
u ku D u
u
u r
r
r










(5) 
where
r
is the usual Dirac delta function. We now require that the area under
u
the outside of the 
circle
r R

be constant, i.e. 
2
,
.
r R t
u r t rdr U const


 

(6) 
3 Results 
To solve (5), (6) we write in the form 
1
,
,
,
,0
.
kt
t
rr
r
u r t
e
D
r
r
r










This problem has a fundamental solution (see, for example, the book by Courant and Hilbert)
2
/4
1
,
.
4
kt r
Dt
u r t
e
Dt


Thus, 
R t
can be obtained from (6) after substitution and from the last equation, i.e. as a solution 
to the equation 
2
/ 4
( )
1
2
kt r
Dt
R t
e
rdr U
Dt




. 
Which after integration gives 
2
4
4 ln
~2 kD
( )
/ ~2
R t
kDt
D U t
t
R t
dR dt
kD





. 
Therefore, the wave propagation speed is set equal to 
2 kD
). 

---

Propagation of nonlinear population waves in space
67 
Секция 5. Алгоритмизация, моделирование и оптимизация 
Instead of taking (76) as the definition of R(t), we can define the position of the wave as the 
position
( )
R t
where and takes some fixed value 
u
, a natural choice of 
1/ 2
u 
. Then it is found
( )
R t
from the equation 
2
/ 4
( ) 1/(4
)
kt R
Dt
u t
Dt e


, namely 
2
2
( ) 4
4 ln 4
R t
kDt
Dt
uDt


. 
The propagation velocity
dR dt
for large times is found by differentiation: 
1
2
dR
kD O
dt
t
 

  
 
(for large t),
(7) 
which indicates the order of the asymptotic correction to the wave velocity. 
For large |x| and t we get 
( )
1
2
dR t
kD O
dt
t
 

  
 
. 
Consider the expressions 
,0
,
,
,
a x ct
ax
u x
e
u x t
e



(8) 
the second of which represents the solution in the form of a wave moving to the left at speed c. Let 
us note the front or the leading edge of the wave as a zone in which andи is small, i.e. x+ct<0 and 
|х+ct | great. Substituting the expression for the form of the traveling wave (8), we obtain the 
dispersion relation са=k+Da
2
for the dependence c(a), and the minimum speed is still equal to
min
2
c
kD

; is the speed at which 
0
/
a a k D

For values of a from the range of 
0
0 a a
 
wave speed
min
c c

. 
Let us now consider 
0
min
,
a x
ax
e e
at 
0
x 
and note that for the linear equation the solutions 
depend monotonically on the initial conditions. If 
0
a a

, then for x<0 
0
a x
ax
e
e

, so that the 
propagation velocity with the initial condition (8) and with such a will depend on the front or leading 
edge of the wave. On the other hand, the initial conditions with а>а
0
require
ax
e
that the functions 
0
a x
e
at x<0 be bounded from above, and therefore the propagation velocity will depend on the wave 
tail. In other words, if 
,0
ax
u x
e

at 
x  
for some
/
a a
k D
 
, 
,
u x t
then it is bounded 
by a pseudowave with velocity
min
c
, namely
0
min
(
)
a x c t
e

, for all t≥0. These arguments extend to the 
case of more than one spatial dimension. 
The results presented here can be generalized to a class of reaction equations with diffusion of 
the form 
u
t
= F(u) + Du
xx
, 
(9) 
Whereи-scalar, a F(u) continuous for 
0
1
u
 
and 
1
0
( )
0, (0)
(1) 0, (1) 0
F u du
F
F
F





.
(10) 
These equations were discussed in detail by Aronson and Weinberger, Hadeler and Rote, who 
used traditional phase-plane methods, Fife and Macleod and Larson; references can also be found 
there to epidemic waves and early generalizations of the Fisher equation, especially to some 
combustion problems and to models of nerve impulse propagation, in which solutions of the traveling 
wave type also arise. In the last model F(u)=u(1-u)(α-u), where
0
1
 
. For (9), (10), by a simple 
extension of the above analysis using the phase plane method, it can be shown that meaningful wave 
solutions exist only if
min
2
(0)
c c
DF


. 
Since the equation is invariant under the change of x sign, there is a solution like a wave running 
to the right
,
,
0,
u x t
f x ct c



: where now f(-∞) = 1 and f(∞)=0. Therefore, it is natural that 
if we start with a finite positive perturbation, in which u(x, 0) = 0 outside the finite region, then the 
waves will move in both directions. Note that if for those x where u(x, 0) > 0, u(x, 0) < 1, then the 

---

68 
Mukhamedieva D.K., Madrakhimov A.Kh.
Section 5. Algorithmization, modeling and optimization 
term ku(1-u) causes the solution to grow, so that 
lim ( , ) 1
t
u x t


for all x. One can simply consider 
ku(1-u) as a positive source in the diffusion equation when u > 0, however small it may be. 
4 Conclusion 
It is established that the Fisher equation (1) has solutions u(х, t) of the traveling wave type with 
values in the range from 0 to 1 and with wave velocities with с≥c
min
=2√kD When the initial data 
0≤u(x,0)≤1 are 1 and 0 outside some finite region, then the solution u(x,t) develops into a traveling 
wave solution with a minimum speed c
min
; it is stable, like all others with с>c
min
, only with respect 
to perturbations other than zero in a finite region. These results show that a purely numerical stability 
test should also be carefully considered. For the considered practical problems, however, it may turn 
out to be sufficient. 
An approximate analytical solution describing the propagation of a locust population wave is 
obtained. This solution has self-similarity, since the dimensionless velocity of propagation of a 
solitary locust population wave is a function of only the dimensionless initial concentration of the 
food base, while the dimension velocity depends on many parameters of the problem. Simple power-
law dependences of the main characteristics of a solitary locust wave on the control parameters are 
obtained. It can be assumed that the developed flight model of gregarious locusts describes the stage 
preceding these gigantic flights, when the swarm has already formed and then flies in an unsteady 
mode due to its own accumulated potential. 
References 
[1] Topaz C.M., D`Orsogna M.R., EdelsteinKeshet L., Bernoff J. Locust dynamics: Behavioral phase 
change and swarming // PLOS Comput. Biol. – 2012. – Vol. 8.: e1002642. 
doi:10.1371/journal.pcbi.1002642. 
[2] Taylor R.A.J. A simulation model of locust migratory behavior // J. Anim. Ecol. – 1979. – Vol. 
48. – P. 577–602. 
[3] Topaz C.M., Bernoff A.J., Logan S., Toolson W. A model for rolling swarms of locusts // Eur. 
Phys. J. SpecialTopics. – 2008. – Vol. 157. – P. 93–109. 
[4] Berezovskaya F.S., Karev G.P. Bifurcations of traveling waves in population models with taxis. 
Usp. physical Sciences. - 1999. - T. 169. - pp. 1011–1024 
[5] Zhizhin G.V. Self-regulating waves of chemical reactions and biological populations. - St. 
Petersburg. : Nauka, 2004. - 164 p. 
[6] Zhizhin G.V., Selikhovkin A.V. Mathematical modeling of the development and distribution of 
populations of insect-stem pests in the forests of Russia. - St.P. : SPbGLTU, 2012. - 88 p. 
[7] Kolmogorov A.N., Petrovsky I.G., Piskunov N.S. Investigation of the diffusion equation 
associated with an increase in the amount of a substance and its application to one biological 
problem // Byull. Moscow State University. - 1937. - T. 1. Issue. 6. - S. 333-358. 
[8] Svirezhev Yu.M. Nonlinear waves, dissipative structures and catastrophes in ecology. - M. : 
Nauka, 1987. - 366 p. 
[9] Zhizhin G.V. Combustion waves with distributed zones of chemical reactions: (Non-asymptotic 
theory of combustion). - St. Petersburg. : Werner Regen Publishing House, 2008. - 182 p. 
[10] Polozhiy G.N. Equations of mathematical physics. - M .: Higher. school, 1964. - 559 p. 
[11] Zhizhin G.V., Bolshakova N.N. Solitary waves in populations of multicellular animals // 
Mathematical Modeling. - 2000. - T. 12. No. 12. - S. 55–65. 
[12] Kopaneva L.M., Stebaev I.V. Locust life. - M. : Agropromizdat, 1985. - 191 p. 
[13] A. A. Samarskii, S. P. Kurdyumov, A. P. Mikhailov, and V. A. Galaktionov, Blow-up Regime for 
Quasilinear Equations of Parabolic Type. M. Nauka, 1987, 487 pages. 
[14] Aripov M. Methods of reference equations for solving nonlinear boundary value problems. 
Tashkent. Fan. 1988. p. 137. 

---

392 
СОДЕРЖАНИЕ 
Aripov M.M., Nigmanova D.B. 
Asymptotic behavior of solutions to nondivergent parabolic systems of equations with 
source or absorption ........................................................................................................ 7-12 
Aydarova A., Yusupov R., Abduvaitov A. 
Mathematic models of water resources management ..................................................... 13-21 
Indiaminov R., Abdullaev A., Shodmonov J. 
Mathematical simulation of magnetoelastic deformation of electrically conductive 
plate in a magnetic field .................................................................................................. 22-28 
Kabulov A.V., Baizhumanov A., Berdimurodov M.A. 
Problem of synthesis of minimal forms of logical functions .......................................... 29-36 
Kabulov A.V., Baizhumanov A., Berdimurodov M.A. 
Methods for minimizing disjunctions of systems of nonlinear boolean equations, 
based on information about the neighborhood of the 1st order ...................................... 37-43 
Kabulov A.V., Baizhumanov A., Berdimurodov M.A. 
Solving systems of nonlinear boolean equations based on minimizing disjunctions of 
complex conjunctions ..................................................................................................... 44-50 
Malikov Z.M., Navruzov D.P., Abdukhamidov S.K., Pulatov T.R., Mirzaliev S. 
Comparative analysis of turbulence models for calculation of excess velocity and 
temperature for axisymmetric jet .................................................................................... 51-58 
Marenko V.A., Milcharek T.P., Milcharek N.A. 
Modeling of the social phenomenon «extremism» ......................................................... 59-64 
Mukhamedieva D.K., Madrakhimov A.Kh. 
Propagation of nonlinear population waves in space ...................................................... 65-68 
Muhamediyeva D.K., Madrakhimov A.Kh. 
Diffusion model for logistic population growth model .................................................. 69-76 
Olimov M., Ismoilov Sh.M., Abdujalilov S.M, Studenkova D.V. 
Adequacy of mathematical modeling of a spatial rod .................................................... 77-82 
Polatov A.M., Ikramov A.M., Jumaniyozov S.P. 
Numerical simulation of a non-stationary heat transfer process in contact interaction 
with the surrounding medium ......................................................................................... 83-90 
Primova Kh.A., Gaybulov K., Yalgashev O.R. 
Algorithm for constructing a model for the choice of building materials for the 
construction ..................................................................................................................... 91-97 
Sadullayeva Sh.A., Berdiyev G‘.R., Farmonkulov F.N. 
Gipermurakkab fraktallarning 3d shakllarini qurish usullari .......................................... 98-105 
Saidalieva M., Hidirova M.B., Isroilov Sh.Yu. 
Mathematical modeling of regulatory mechanisms of interrelated functioning between 
a human brain and various organs .................................................................................. 106-115 
Toirov Sh.A., Boynazarov I.M., Kudratov R.B., Kholmatov O.A. 
Effective methods of optimization of quantum algorithms ............................................ 116-120 
Ubaydullaev M.Sh., Eshpulatov B., Ibadullaeva Z. 
One-dimensional exciton states in cylindrical quantum wires ....................................... 121-125 
Uteuliev N.U., Djaykov G.M., Seidullaev A.K. 
Modeling an integral geometry problem on a parabolic family ..................................... 126-131 
Yuldoshov A.Kh. 
Information and analytical assessment of the functioning of the gas supply network in 
the event of emergency situations ................................................................................... 132-135 
Zadorin A.I. 
Interpolation of functions with large gradients in the boundary layer ............................ 136-141 

---

393 
Zaynidinov Kh.N., Mallaev O.U. 
Algorithm for constructing cubic spline in distributed systems ..................................... 142-147 
Алимова Д.Б. 
Моделирование привода шпинделей аппарата хлопкоуборочной машины ........... 148-155 
Анарова Ш.А., Иброҳимова З.Э., Тўхтасинов А.И. 
Мураккаб фрактал тузилишли тасвирларни аналитик, l-тизимлар ва IFS 
усуллари ёрдамида қуриш алгоритмлари ................................................................... 156-162 
Анарова Ш.А., Исмоилов Ш.М., Дониев Ш.Б. 
Стерженларнинг геометрик ночизиқли деформацияланиш жараёнларида 
ҳароратни ҳисобга олган ҳолда тадқиқи ..................................................................... 163-172 
Анарова Ш.А., Шокиров Д.А., Хуррамов А.Б. 
Постановка задачи исследованию напряженно-деформированного состояние 
трёхслойных стержней ................................................................................................. 173-179 
Бурнашев В.Ф., Кайтаров З.Д. 
Математическое моделирование многофазной фильтрации в межскважинной 
зоне нефтяного пласта с учетом деформации пористой среды ................................ 180-189 
Зикиряев Ш.Х., Сулаймонов Ф.У., Мардонов Б.А. 
Перенос вещества в пористой среде с учетом адсорбции ........................................ 190-193 
Имомов А. 
Алгоритмы и программы полной проблемы собственных значений матриц ......... 194-201 
Кайгермазов А.А., Кудаева Ф.Х. 
Математическое моделирование динамики возрастной структуры популяции ..... 202-209 
Карпенко А.П. 
Методы синтеза адаптивных алгоритмов глобальной оптимизации ....................... 210-219 
Каюмов Ш., Бекчанов Ш.Э. 
О состоянии и изученности математического моделирования задачи 
фильтрации неньютоновских и структурированных флюидов ................................ 220-227 
Кодиров К.Р. 
Моделирования фильтрация подземных вод в многослойном пористой среде и 
их защита от источников загрязнения ........................................................................ 228-235 
Кудаева Ф.Х., Кайгермазов А.А., Бечелова А.Р. 
Математическое моделирование проблем криомедицины ....................................... 236-244 
Курбонов Н.М. 
Математическая модель фильтрации газа в пористой среде при наличии 
массообмена сквозь границы ....................................................................................... 245-250 
Махмудов Ж.М., Усмонов А.И., Кулжонов Ж.Б. 
Численное решение задачи аномальной фильтрации суспензии в пористой среде 
с фрактальной структурой ............................................................................................ 251-256 
Мирзаев И., Нишонов Н.А., Косимов Э.А. 
Автоматизация решения задач сейсмодинамики подземных трубопроводов при 
сейсмическом воздействии .......................................................................................... 257-261 
Нарзуллаева Н.У. 
Численный алгоритм математической модели для мониторинга 
распространения активных аэрозольных частиц в атмосфере ................................. 262-271 
Неъматов А., Назирова Э.Ш., Маҳмудова М.М. 
Кўп қатламли ғовак муҳитларда газ ностационар фильтрация жараёнини 
математик моделлаштириш ......................................................................................... 272-279 
Норалиев Н.Х., Хаитбоев К. 
Напряженное состояние анизотропных цилиндрических оболочек с двумя 
неравными отверстиями ............................................................................................... 280-288 

---

394 
Нормуродов Ч.Б., Абдурахимов Б.Ф., Джураева Н.Т. 
Численное моделирование уравнений гидродинамической устойчивости 
двухфазных потоков методом предварительного интегрирования ......................... 289-296 
Нуралиев Ф.М., Айтмуратов Б.Ш., Артикбаев М.А. 
Юпқа мураккаб конструкциявий шаклдаги анизотроп пластиналарнинг 
элекртомагнитэластик масаласини ечиш ................................................................... 297-304 
Отакулов С., Холиярова Ф.Х. 
Задача оптимального управления по быстродействию для ансамбля траекторий 
дифференциального включения с запаздыванием ..................................................... 305-312 
Равшанов Н., Аминов С.М. 
Численное исследование газодинамических параметров процесса фильтрации 
газа в неоднородных пористых средах ....................................................................... 313-328 
Равшанов Н., Назаров Ш.Э., Журабоева О.C. 
Численное исследование процесса распространения вредных веществ в 
атмосфере с учетом захвата частиц элементами растительности ............................ 329-335 
Равшанов Н., Назирова Э.Ш., Неъматов А.Р. 
Математические модели и методы численного решения задач двухфазной 
фильтрации жидкостей в динамически связанных двухпластовых пористых 
средах ............................................................................................................................. 336-344 
Равшанов Н., Саидов У.М., Туракулов Ж.А. 
Численное исследование параметров технологического процесса фильтрования 
суспензий ....................................................................................................................... 345-351 
Равшанов Н., Холматова И.И. 
Вычислительный алгоритм для решения задачи фильтрации при водонапорном 
режиме ............................................................................................................................ 352-361 
Халджигитов А.А., Джумаёзов У.З., Тилoвов О.У. 
Сравнение численных решений модельных уравнений относительно 
напряжений, деформаций и перемещений ................................................................. 362-370 
Худайбердиев М.Х., Қорабошев О.З. 
Прогнозлашни бир синфли алгоритмлари учун турли усулларнинг қиёсий 
таҳлили ........................................................................................................................... 371-375 
Шафиев Т.Р., Собирова Д.О. 
Нелинейная математическая модель и численный алгоритм для мониторинга и 
прогнозирования концентрация вредных веществ в атмосфере .............................. 376-385 
Юсупов М., Шарипов Х.Д. 
Нелинейные колебания вязкоупругой динамических систем с несколькими 
степенями свободы ....................................................................................................... 386-391