Статья посвящена наиболее распространённому на практике приложению

Примечание: интеграл  подробно разобран в Примере №9 урока Интегралы от тригонометрических функций.
, что и требовалось получить.
Готово.
Как-то так невзначай на этой странице уместились 17 двойных интегралов, что является полнейшим безобразием, по причине того, что за окном жаркие деньки июня, которые совсем не располагают к учёбе.
Успешной сдачи сессии!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: выполним чертёж:

Координаты центра тяжести фигуры найдём по формулам  , где  .
Порядок обхода области:

1) Вычислим площадь фигуры:

2) Найдём абсциссу  центра тяжести.


3) Найдём ординату  центра тяжести.


Ответ: 
Пример 3: Решение: выполним чертеж:

Выберем следующий порядок обхода фигуры:

Найдём центр тяжести  . Используем формулы  , где 
1) Вычислим площадь фигуры:

2) Найдём абсциссу  центра тяжести.

3) Найдём ординату  центра тяжести.

(интеграл от нечетной функции по симметричному относительно нуля отрезку)

Ответ: 
Пример 5: Решение: выразим функции в явном виде:

Выполним чертеж:

Выберем следующий порядок обхода фигуры:

По соответствующим формулам найдём координаты  центра тяжести  данной фигуры.

В первом интеграле проведем замену:

Новые пределы интегрирования:

Ответ: