Статья посвящена наиболее распространённому на практике приложению

Полезная рекомендация: ещё до вычислений постарайтесь определить примерное расположение центра тяжести «на глазок» – это поможет проверить полученные значения  на предмет явных ошибок.
Да, возможно, ещё не все до конца поняли, что такое центр тяжести: пожалуйста, поднимите вверх указательный палец и мысленно поставьте на него заштрихованную «подошву» точкой  . Теоретически фигура не должна упасть.
Координаты центра тяжести фигуры найдём по формулам  , где  .
Порядок обхода области  (фигуры) здесь очевиден:

Внимание! Определяемся с наиболее выгодным порядком обхода один раз – и используем его для всех интегралов!
1) Сначала вычислим площадь фигуры. Ввиду относительной простоты интеграла решение можно оформить компактно, главное, не запутаться в вычислениях:

Смотрим на чертёж и прикидываем по клеточкам площадь. Получилось около дела.
2) Иксовая координата  центра тяжести уже найдена «графическим методом», поэтому можно сослаться на симметрию и перейти к следующему пункту. Однако так делать всё-таки не советую – велика вероятность, что решение забракуют с формулировкой «используйте формулу».
В этой связи координату лучше рассчитать формально. Вычислим «иксовый» интеграл:

Заметьте, что здесь можно обойтись исключительно устными вычислениями – иногда совсем не обязательно приводить дроби к общему знаменателю или мучить калькулятор.
Таким образом:
, что и требовалось получить.
3) Найдём ординату  центра тяжести. Вычислим «игрековый» интеграл:

А вот тут без калькулятора пришлось бы тяжко. На всякий случай закомментирую, что в результате умножения многочленов  получается 9 членов, причём некоторые из них подобны. Подобные слагаемые я привёл устно (как это обычно принято делать в похожих случаях) и сразу записал итоговую сумму  .
В результате:
, что очень и очень похоже на правду.
На заключительном этапе отмечаем на чертеже точку  . По условию не требовалось ничего чертить, но в большинстве задач мы волей-неволей вынуждены изобразить фигуру. Зато есть безусловный плюс – визуальная и довольно эффективная проверка результата. 
Ответ: 
Следующие два примера для самостоятельного решения.
Попроще:
Пример 2
Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями 
Кстати, если вы представляете, как расположена парабола  и увидели точки, в которых она пересекает ось  , то здесь и на самом деле можно обойтись без чертежа.
И посложнее:
Пример 3
Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями 
В случае затруднений с построением графиков, изучите (повторите) урок о параболах и/или Пример №11 статьи Двойные интегралы для чайников.
Примерные образцы решений в конце урока.
Кроме того, десяток-другой похожих примеров можно найти в соответствующем архиве на странице Готовые решения по высшей математике.
Ну а я не могу не порадовать любителей высшей математики, которые часто просят меня разбирать и трудные задачки:
Пример 4
Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями  . Фигуру и её центр тяжести изобразить на чертеже.
Решение: условие данной задачи уже категорично требует выполнения чертежа. А ведь требование не настолько и формально! – эту фигуру способен представить в уме даже человек со средним уровнем подготовки:

Прямая  рассекает круг на 2 части, и дополнительная оговорка  (см. линейные неравенства) указывает на то, что речь идёт именно о маленьком заштрихованном кусочке.
Фигура симметрична относительно прямой  (изображена пунктиром), поэтому центр тяжести должен лежать на данной линии. И, очевидно, что его координаты равны по модулю. Отличный ориентир, практически исключающий ошибочный ответ!
Теперь плохая новость =) На горизонте маячит малоприятный интеграл от корня, который мы подробно разобрали в Примере №4 урока Эффективные методы решения интегралов. И кто его знает, что там нарисуется ещё. Казалось бы, ввиду наличия окружности выгодно перейти к полярной системе координат, однако не всё так просто. Уравнение прямой  преобразуется к виду  и интегралы тоже получатся не сахарные (хотя фанаты тригонометрических интегралов оценят). В этой связи осмотрительнее остановиться на декартовых координатах.
Порядок обхода фигуры:

1) Вычислим площадь фигуры:

Первый интеграл рациональнее взять подведением под знак дифференциала:

А во втором интеграле проведём стандартную замену:


Вычислим новые пределы интегрирования:


Весьма достоверно, едем дальше:
2) Найдём  .

Здесь во 2-м интеграле опять был использован метод подведения функции под знак дифференциала. Отработайте и возьмите на вооружение эти оптимальные (по моему мнению) приёмы решения типовых интегралов.

После непростых и длительных вычислений вновь обращаем свой взор на чертёж (помним, что точки   мы пока не знаем!) и получаем глубокое моральное удовлетворение от найденного значения  .
3) Исходя из проведённого ранее анализа, осталось убедиться, что  .

Отлично:

Изобразим точку  на чертеже. В соответствии с формулировкой условия запишем её как окончательный ответ: 
Похожее задание для самостоятельного решения:
Пример 5
Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями  . Выполнить чертёж.
Эта задача интереса тем, что в ней задана фигура достаточно малых размеров, и если где-нибудь допустить ошибку, то высока вероятность вообще «не попасть» в область. Что, безусловно, хорошо с точки зрения контроля решения.
Примерный образец оформления в конце урока.
Иногда бывает целесообразен переход к полярным координатам в двойных интегралах. Это зависит от фигуры. Искал-искал у себя удачный пример, но не нашёл, поэтому продемонстрирую ход решения на 1-й демо-задаче указанного выше урока:

Напоминаю, что в том примере мы перешли к полярным координатам, выяснили порядок обхода области  и вычислили её площадь 
Давайте найдём центр тяжести данной фигуры. Схема та же:  . Значение  просматривается прямо из чертежа, а «иксовая» координата должна быть смещена чуть ближе к оси ординат, поскольку там располагается более массивная часть полукруга.
В интегралах  используем стандартные формулы перехода:


Правдоподобно, скорее всего, не ошиблись.