Статистический вес

Основные принципы статистики

2. 1. Статистическое распределение

. Фазовое пространство
Статистическая физика имеет дело с системами, состоящими из очень большого числа частиц. Для описания свойств таких систем обычные механические подходы совершенно бесперспективны. Ведь любая задача по механике решается всегда по одному и тому же алгоритму. Записать законы Ньютона для каждого тела задачи; задать начальные значения координат и скоростей тел и после этого решить полученную систему уравнений, найдя тем самым положения и скорости тел в произвольный момент времени. Однако для реальных тел, а именно такие тела рассматриваются в статистике, здесь явно что-то не вяжется. Дело даже не в том, что очень трудно выписать законы Ньютона для большого количества частиц, из которых состоят реальные тела. И не в том, что очень трудно решить полученную систему уравнений. Дело в том, что характеризовать состояние макроскопического тела, задавая координаты и скорости всех молекул, из которых это тело состоит – полный абсурд. По

очевидным причинам. Для характеристики состояния макроскопического тела нужны какие- то другие переменные. А для их введения – другие немеханические подходы. Но начнем мы все-таки с хорошо понятной механической терминологии.

Итак, зададим состояние системы, состоящей из N – частиц, зафиксировав в произвольный момент времени три координаты (если пространство трехмерное) и три импульса каждой частицы. Т.е. по шесть величин для одной частицы. Или 6 N величин для всей системы. Будем говорить, что состояние системы в произвольный момент времени задается точкой в 6 N – мерном пространстве. С течением времени эта точка описывает какую-то траекторию в этом пространстве, которое называется фазовым.

Чтобы представить себе уровень сложности такой траектории, рассмотрите самый простой случай, какой только можно придумать: тело на пружинке совершает одномерные гармонические колебания.

x  A sin t

Исключая время (t), получим

x^& 

2
A

x^{& 2}
cos t

2

x   A
_ 2
Т.е. в этом простейшем случае одномерного колебательного движения тело описывает в
двумерном пространстве ^{ x, x&} эллипс. Состояние одной частицы, движущейся не вдоль
какой-то прямой, а на плоскости, описывается уже траекторией в четырехмерном пространстве. Ну и так далее. Пространство, в котором движется 6N – мерная точка, изображающая состояние системы, называется фазовым пространством. Траектория точки в этом фазовом пространстве даже несмотря на то, что, строго говоря, описывается, в конечном счете, уравнениями механики, обладает такой степенью сложности и запутанности, что вполне может представляться как случайная.
Т.о. фазовым пространством будем называть пространство, на координатных осях которого будем откладывать значения координат и импульсов системы.

Фазовый объем и его свойства

Выделим в фазовом пространстве небольшой объем ^{ } .
Фазовый объем обладает некоторыми очевидными свойствами, решительно непохожими на свойства обычного объема). Для обычного объема, если вы имеете одну систему с объемом
^V1 и вторую с объемом ^V2 , то общий объем этих двух систем равен ^{V1  V2} . Обычный объем
обладает свойством, которое называется аддитивностью. Но с фазовым объемом не так.

Общий фазовый объем двух систем с фазовыми объемами ^{  1 и   2}

  _total    ₁    ₂

равен

Фазовый объем составной системы равен произведению фазовых объемов составляющих эту систему подсистем. Это свойство называется мультипликативностью. Различие связано с тем, что при сложении двух систем происходит увеличение размерности фазового объема. (ср

переход от двумерного объема мультипликативность.
 V₂  
x   y
к трехмерному
 V₃  
x  
y  
^z . Тоже

Итак, ясно, что описывать движение системы в фазовом пространстве (обратите
внимание, с системой ничего не происходит в макроскопическом смысле, но молекулы-то движутся, и поэтому в фазовом пространстве система все время чертит какую-то

траекторию), в терминах механики – занятие бесперспективное.

Плотность функции распределения

Пусть за время наблюдения ^T фазовая точка, изображающая состояние системы

сколько-то раз заскакивает в объем ^{ } и проводит там какое-то время ^{ t  T } . Тогда

вероятностью ^{ w}
того, что мы обнаружим свою систему в этом элементе фазового объема

называется величина
 w 


_lim ^{ t}  ^T 
(2.1)

T   _T
Переходя к бесконечно малому фазовому объему

d 
dqdp 
dq₁dq₂ ....dq_n dp₁dp₂ dp_n

найдем вероятность нахождения системы в интервалах между qi.pi и qi+dqi, pi+dpi
dw   ( p, q)d

где
^  ^{p→, q→} ^

 _ p^→ , p^→
, p^→ ,... p^→
q^→ , q^→ , q^→ ...q^→ _

1 2 3

N , 1 2 3

N
плотность функции распределения

Соотношение (2.1) можно рассматривать как вероятность того, что при наблюдении подсистемы в некоторый произвольный момент времени мы обнаружим ее находящейся в данном участке фазового пространства. Переходя к пределу бесконечно малого элемента объема фазового пространства мы вводим функцию распределения ρ(p, q, t). В силу самого определения статистическое (или фазовое) усреднение представляется вполне эквивалентным усреднению по времени. Это так называемая эргодическая гипотеза.

Физикам, обычно, достаточно таких простых соображений. В частности, Ландау считал, что значение эргодической проблемы вообще преувеличивается математиками. Несмотря на продолжающиеся дискуссии на эту тему, с прагматической точки зрения подход Гиббса не вызывает никаких сомнений, так как все основные выводы, полученные в рамках статистической механики получают полное экспериментальное подтверждение.
Свойства плотности функции распределения
Статистическое распределение не зависит от ее начального состояния системы. Поэтому статистическое распределение можно найти не решая задачу механики с учетом начальных условий.
Нахождение статистического распределения является основной задачей статистики. Если мы знаем функцию распределения, то мы можем найти средние значения любой физической величины f(q,p)

 f   _
f ( p, q) ( p, q)d

Если f₁ и f₂ – две физические величины, относящиеся к двум разным подсистемам, тогда из свойства мультипликативности следует