Statsionar bo‘lmagan rejimda issiqlik o‘tkazuvchanlik

Nostatsionar rejimida issiqlik o'tkazuvchanlik muammolarni hal qilish

Statsionar bo'lmagan issiqlik o'tkazuvchanligi muammosini hal qilish haroratning o'zgarishiga bog'liqligini va jismning istalgan nuqtasi uchun vaqt ichida jismga uzatiladigan issiqlik miqdorini topishni anglatadi:
t=f(x; y; z; τ) и Q=φ(x; y; z; τ).
Ushbu bog'liqliklarni analitik topish uchun issiqlik o'tkazuvchanligi uchun Furye differentsial tenglamasidan foydalanish mumkin:

Bu tenglama Furye qatori yordamida yechiladi. Analitik yechim juda murakkab bo'lib chiqadi va faqat oddiy shakldagi jismlar uchun (plastinka, silindr va shar) bir qator soddalashtirilgan taxminlar ostida mumkin.
Issiqlik o'tkazish jarayonining analitik tavsifi, differensial tenglamadan tashqari, o'ziga xoslik shartlarini ham o'z ichiga oladi. 
Yagonalik shartlari quyidagi shaklda berilgan:

• 
  fizik parametrlar , ,
  
• 
  ob'ektning shakli va geometrik o'lchamlari ;
  
• 
  Vaqtning dastlabki daqiqalarida jism harorati ; t = t₀ = f(x, у, z).
  

Uchinchi turdagi chegara shartlari shaklida belgilanishi mumkin bo'lgan chegara shartlari:
.

Issiqlik o'tkazuvchanligining differentsial tenglamasi o'ziga xoslik shartlari bilan birgalikda ko'rib chiqilayotgan masalaning to'liq matematik formulasini beradi. Uning yechimi tenglama va yagonalik shartlarini qanoatlantiradigan funksiyani topishdan iborat.

t = f (x, y, z, i, a, t₀, t_j, )
Agar biz bu tenglamani tekis devor uchun yechisak va haroratning faqat bir yo'nalishda o'zgarishi jarayonini ko'rib chiqsak x , u holda yechim quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
,
Bu erda b va c jarayonning statsionar shartlaridan aniqlanadi, ya'ni. da ;
3-turdagi chegara shartlaridan;
- dastlabki shartlardan, ya'ni. da .
Tenglamadan ko'rinib turibdiki, kerakli funktsiya t 3 o'lchovsiz komplekslarga guruhlanishi mumkin bo'lgan ko'p sonli o'zgaruvchilarga bog'liq, bu komplekslar o'xshashlik sonlari deb ataladi.

Birinchi o'xshashlik raqami – Bio soni

,
bu yerda suyuqlik va qattiq jism o'rtasidagi chegaradagi issiqlik uzatish koeffitsienti
λ - qattiq jismning issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti;
l- jismning shakliga qarab belgilanadigan xarakterli o'lcham:
plastinka uchun l=δ;
silindr uchun l=  ;
shar uchun l=  .
Ikkinchi o'xshashlik raqami – Furye soni:
,
bu erda a - issiqlik tarqalish koeffitsienti;
τ – vaqt.
Furye soni o'lchovsiz vaqt deb ham ataladi.
Uchinchi o'lchovsiz kompleks - o'lchovsiz koordinata:
.
Aniqlanishicha, θ - o'lchovsiz harorat bo'lib, X ning qat'iy qiymatlari uchun Bio va Furye sonlarining funktsiyasidir.

Markaz (X=0) va sirt (X=1) uchun o'lchamsiz haroratning θ o'zgarishini grafik yechim bilan tasvirlash mumkin, u 1.6.3-rasmda ko'rsatilgan.
Shunga o'xshash grafiklar plastinka, silindr va sharning markazi va yuzasi uchun, shuningdek, Bi va Fo sonining funktsiyasi bo'lgan o'lchovsiz issiqlik miqdori uchun tuzilgan.
.
Shuning uchun, jismning yuzasida yoki markazida haroratni aniqlash uchun ikkita miqdorni bilish kerak: Bi soni va Fo soni.
Shunday qilib, statsionar bo'lmagan issiqlik o'tkazuvchanligi muammolarini hal qilish usuli quyidagicha:

1. 
   geometrik, boshlang'ich va chegaraviy shartlar bilan beriladi: [(с;λ; t_x ; t₀ ;α;  ),( yoki  )];
   

2) Bi va Fo sonlarini hisoblang;
,  ;
3) Bi va Fo sonlarini bilish grafik bo'yicha o'lchamsiz harorat θ aniqlanadi;
4) θ ni aniqlab, markazdagi haroratni hisoblang

yoki jismning yuzasida
,
Bu yerda t₀ - boshlang'ich jism harorati;