Сумма событий. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Произведения событий События - Все задачи курса теории вероятностей связаны с многократным повторением испытаний и фиксацией результата испытаний – событий.
-
- Основным интуитивным понятием классической теории вероятностей является случайное событие. События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида:
- а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта;
- б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может;
- в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти. Например, при броске игральной кости достоверным событием является выпадение числа очков, не превышающего 6, невозможным – выпадение 10 очков, а случайным – выпадение 3 очков.
Сумма событий - Суммой A + B событий A и B называется событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.
- Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.
-
-
- Пример 1: Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Если событие А – попадание первого стрелка, а событие В – второго, то сумма А+В – это хотя бы одно попадание при двух выстрелах.
-
- Пример 2: Если при броске игральной кости событием Аi назвать выпадение i очков, то выпадение нечетного числа очков является суммой событий А1+А2+А3.
-
- Пример 3: Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий W = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6}, где элементарное событие w i- выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2,w 4,w 6}, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w 5, w 6}.
- . Событие A + B = {w 2,w 4, w 5, w 6} состоит в том, что выпало либо четное число очков, либо число очков большее четырех, т.е. произошло либо событие A, либо событие B. Очевидно, что A + B W
-
-
- Пусть события A и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие A, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.
- Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
- P (A + B) = P(A) + P(B).
-
-
Доказательство - Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 — число исходов, благоприятствующих событию A; m2— число исходов, благоприятствующих событию В.
- Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1 + m2. Следовательно,
- Р (A + В) = (m1 + m2) / n = m1 / n + m2 / n.
- Приняв во внимание, что m1 / n = Р (А) и m2 / n = Р (В), окончательно получим
- Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Теорема сложения вероятностей несовместных событий - Пример: В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
- Решение: Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.
- Вероятность появления красного шара (событие А):
- P (A) = 10/30 = 1/3.
- Вероятность появления синего шара (событие В):
- P (В) = 5/30 = 1/6.
- События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.
- По формуле искомая вероятность:
- P (A + B) = P(A) + P(B) = 1/3 + 1/6 = 1/2.
Произведение событий - Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.
- Например, если А — деталь годная, В — деталь окрашенная, то АВ — деталь годна и окрашена.
- Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
- Например, если А, В, С — появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.
- Произведением независимых событий A и B называется событие C=AB, заключающееся в том, что произошло и событие A, и событие B.
- Рассмотрим два независимых события A и B.
- Пусть событию А благоприятствует m исходов, из общего числа n исходов P(A)=m/n. Событию B –соответственно k и l исходов: P(B)=k/l. Тогда для события C=AB по правилу произведения благоприятных исходов будет mk, общее число – nl.
Do'stlaringiz bilan baham: |
