T. I. Umarov s. I. Xudoyberdiyev iqtisodiy matematik usullar va

a_m1 x + a_m2x₂ +... + ax_n = b_m, x,. > 0 (j = 1,2,...,n)

m1 1 m2 2 mn n m “ j

cheklash shartlarini qanoatlantiruvchi minimum qiymatini topish talab etiladi. Bunda b_} > 0, (j = 1,2,..., m). Bunday qo’yilgan masalaga chiziqli dasturlashning

kanonik masalasi deyiladi.

Cheklash shartlari m ta vektorlar bo’lsin. Bu holda

^Z = ^C1 ^x1 + ^C2^x2 + ... + ^Cn^xn , (5)

chiziqli funksiyaning

^a11 ^x1 + ^a12 ^x2 + ... + ^a1n^xn = К ^a21 ^x1 + ^a22 ^x2 + ... + ^a2n^xn = К

<sup>(6)

a</sup>m1 ^x1 + ^am2^x2 + ... + Vn = ^bm <sup>,

x</sup>j > ^0(j = l,²,...,«К ⁽⁷⁾

cheklash shartlarini qanoatlantiruvchi minimum qiymatni topish masalasi hosil bo’ladi. (6) sistemani vektor shaklida yozsak:

^x1 ^A1 + ^x2 ^A2 + ... + ^xm^Am + ^xm+1 ^Am+1... + ^x n^An = ^A0 ⁽⁸⁾


f_a >

1,m+1

a

1n

a

a

2,m+1

2n

A =

A =

m+1

A =

V⁰ J

V1 J

V ^a mn J

a

_V m,m+1 _J

Г ь"		Г1 ^
b2	, A =	0
V ^bm J		v^0,

yoyilma hosil bo’ladi, bunda

Л =

A₂ =

A₁,A₂,...,A_m vektorlar m o’lchovli fazoning chiziqli bog’lanmagan birlik vektorlari bo’ladi. Bular bu fazoning bazisini tashkil etadi. Shuning uchun, (8) yoyilmada bazis o’zgaruvchilari uchun x₁, x₂,...,x_m larni olib, ozod

x_m+₁, x_m+₂,..., x_n o’zgaruvchilarni 0 ga teng deb, hamda b_} > 0, (j = 1,2,...,m) ekanligini hisobga olib, A₁,A₂,...,A_m birlik vektorlar bo’lganligi uchun

^X0 ^(x1 ^b1, ^X2 ^b2

b

(9)

,x„

^{0, X}m+2 = ^0,...^{, X}n = °)

boshlang’ich rejani hosil qilamiz. (9) reja

^X1^A1 + ^X2 ^A2 + ... + ^Xm^Am = ^A0 ⁽¹⁰⁾

yoyilmaga mos kelib, A₁,A₂,...,A_m vektorlar chiziqli bog’lanmagan, demak boshlang’ich olingan reja tayanch reja ham bo’ladi.

Mavzuning tayanch tushunchalari Mumkin bo’lgan yechim, tayanch reja, maxsusmas reja, maxsus reja, optimal reja, yechimlar ko’pburchagi, sath chizig’i, simpleks usul, rejani ketma- ket yaxshilash, ochuvchi (kalit) element, yo’naltiruvchi (kalit) satr, yo’naltiruvchi (kalit) ustun, bosh satr, chiziqli dasturlashning kanonik masalasi, boshlang’ich reja, optimallik sharti, simpleks usul algoritmi, sun’iy bazis, aralash shartli masalalar.

Takrorlash uchun savollar

1. Chiziqli dasturlash (CHD ) nima?

   
   

2. Chiziqli dasturlash masalasi (CHDM) vektor formada qanday yoziladi?

   
   

3. CHDM ning kanonik ko’rinishi nima?

   
   

4. CHDMning geometrik tasvirini nechta o’zgaruvchi uchun ko’rsatish mumkin?

   
   

5. Simpleks usulning mohiyati nimadan iborat?

   
   

6. Simpleks usulning optimallik sharti qanday?

   
   

7. Ochuvchi (kalit) element deb nimaga aytiladi?

   
   

8. Yo’naltiruvchi (kalit) ustun va satr deb nimaga aytiladi?

   
   

9. Bosh satr qanday satr?

   
   

10. Maqsadli funksiya nima?

    
    

11. Cheklash shartlarida qanday shartlar bo’lishi mumkin?

    
    
12. 
    
    (m+1) satr baholari qanday topiladi?
    

13. Birinchi simpleks jadval qanday tuziladi?

    
    

14. Qanday holda 2-simpleks jadvalni tuzishga o’tiladi?

    
    

15. 2-simpleks jadval qanday tuziladi?

    
    

16. Chiziqli funksiyaning chegaralanmaganlik sharti simpleks jadvalda qanday ifodalanadi?

    
    

17. Simpleks jadvallardan optimal yechimning yagonaligi qanday aniqlanadi?

    
    

18. Sun’iy o’zgaruvchi qanday holda kiritiladi?

    
    

19. Sun’iy bazis usuli nima?

    
    

20. Qanday masalalarga aralash shartli masalalar deyiladi?

    
    

21. Aralash shartli masalalar qanday masalaga keltiriladi?

    
    

Mustaqil ish uchun topshiriqlar

va minimum qiymatlarini geometrik

2. f = x₁ + 2 x₂
Ushbu CHDMning maksimum usulda toping.

1. f = 5x₁ + 3x₂,

4x₁ + 3x₂ > 12,

— 2x1 + 4x₂ < 8, x₁ < 5,

^x2 < ^4,

x₁ > 0, x₂ > 0.

x₁ + x₂ > 1,

— 3x1 + 6x₂ < 3, 5 x₁ — 2 x ₂ < 3, x₁ > 0, x₂ > 0.

2. 
   
   
   4. f = 4 x₁ + 2 x₂,
   f = 10x₁ + 6x₂,
   

x₁ + x₂ > 1,

7x₁ + 9x₂ < 63,

x₁ < 6, x2 < 5,

x₁ > 0, x₂ > 0.

^f = 3^x1 + ^x₂^,

x₁ + 2x₂ < 6, 5x1 — 4x₂ > —2, 7x₁ + 5x₂ > 35, x₁ > 0, x₂ > 0.

5x₁ + 3x₂ > 15, 3x₁ — 5x₂ < 15, x₁ + 2x₂ < 10, x₁ > 0, x₂ > 0.

6. f = 12 x₁ + 15x ₂

5

x₁ + x₂ < 6,

2x₁ + x₂ < 20, x₁ + 2x₂ < 10, x₁ > 0, x₂ > 0.

5Xj + 3x₂ < 15,

2 x₁ + 6 x₂ < 12,

<^x2 < ^2,

2x₁ < 6, x₁ > 0, x₂ > 0.

10-19 masalalarda ikki xildagi mahsulot ishlab chiqarish uchun uch turdagi xom ashyo ishlatiladi. i (i = 1,2,3) turdagi xom ashyo miqdori b_i. Bir birlik j (j = 1,2) xildagi mahsulotni ishlab chiqarish uchun zarur bo’lgan i (i = 1,2,3) turdagi xom ashyo miqdori (a_v), xom ashyo zahirasi b va 1 birlik mahsulotni realizatsiya qilishdan olinadigan foyda (c_}), quyidagi matritsa bilan berilgan bo’lsin:

f
^a11	^a12	^b1
^a21	^a22	^b2
^a31	^a32	^b3
v ^c1	^C2	f

Umumiy foyda f eng katta bo’ladigan mahsulotlar ishlab chiqarish rejasini simpleks usuldan foydalanib tuzing:

	f		Л		f		Л
	10	9	1870		15	4	1095
10.	5	11	1455	11.	11	5	855
	4	15	1815		9	10	1080
	v^1	9	f j		v3	2	f j
	f				f		Л
	8	2	840		11	3	671
12.	6	3	870	13.	8	4	588
	3	2	560		5	3	423
	v ^6	2	f J		v5	2	f j
	f				f		Л
	2	1	438		16	4	784
14.	3	6	747	15.	8	7	552
	3	7	812		5	9	567
	v7	5	f j		v4	6	f j

	f		>		f		Л
	2	3	428		4	3	440
16.	3	6	672	17.	3	4	393
	2	8	672		3	5	450
	v ^3	8	f J		v ^6	5	f j

	4	3	480		12	3	684
18.	3	4	444	19.	10	5	690
	2	6	556		3	6	558
	v ^2	4	f )		v ^2	3	f ,

20. z = 5Xj + 3x₂ + 4x₃ - x₄ chiziqli funksiyaning

x₁ + 3x₂ + 2 x₃ + 2 x₄ = 3, 2 xj + 2 x2 + x3 + 2 x4 = 3,
x > 0, (j = 1,2,3,4)

cheklash shartlarini qanoatlantiruvchi maksimum qiymatini sun’iy bazis usulidan foydalanib toping.

21. z = - x₁ + 3x₂ + 2 x₃ chiziqli funksiyaning

    
    

xj + x₂ + 2x3 > —5, 2x₁ - 3x₂ + x₃ < 3,

2x₁ - 5 x₂ + 6x₃ < 5,

x > 0, (j = 1,2,3)

cheklash shartlari sistemasini qanoatlantiruvchi minimum qiymatini simpleks usul bilan toping.

21. z = x₁ - 2x₂ + 3x₃ -10x₄ chiziqli funksiyaning

    
    

x₁ + x₂ + 2x₃ - 6x₄ = 1, x₁ + x₂ + 4x₃ - 8 x₄ = 1,

4x_j + 2x₂ + x₃ - 4x₄ = 3,

x > 0, (j = 1,2,3,4)

cheklash shartlari sistemasini qanoatlantiruvchi maksimum qiymatini toping. z = 5 x_j + 2x₂ - x₃ chiziqli funksiyaning

23.

2x_j + x₂ + x₃ < 5, 3x_j + 2 x₂ + x₃ = 6, 5x_j + 3x₂ + 4x₃ > 1,

x_; > 0, (j = 1,2,3)

cheklash shartlari sistemasini qanoatlantiruvchi maksimum qiymatini toping. z = 2 x_j + 3x₂ + (^2) x₃ chiziqli funksiyaning

24.

2x_j + x₂ + 3x₃ > 6,

2x_j + 4x₂ + 3x₃ > 10, 3x_j + 4x₂ + 2x₃ > 12, x, > 0, (j = 1,2,3)

cheklash shartlarini qanoatlantiruvchi minimum qiymatini toping.

ADABIY OTLAR

1. Safayeva Q., Beknazarova N. Operatsiyalarni tekshirishning matematik usullari. 1-qism. - Toshkent, O’qituvchi, 1984.

   
   

2. Karasev A.I., Aksyutina Z.M., Saveleva T.I. Kurs visshey matematiki dlya ekonomicheskix vuzov. Chast II. - M.: Visshaya shkola, 1982, 320 s.

   
   

3. Kuznesov Yu.N. i dr. Matematicheskoye programmirovaniye. - M.: Visshaya shkola, 1980, 300 s.

   
   

4. Malik G.S. Osnovi ekonomiko-matematicheskiye metodi v planirovanii.

   
   

• M.: Visshaya shkola, 1988, 279 s.

  
  

5. Arzamassev A.A., Shestakov A.A. Kratkiy kurs visshey matematiki. - M.: Sentorosoyuz, 1965, 460 s.

   
   

6. Taxa X. Vvedeniye v issledovaniye operatsii. Tom 1,2. - M.: Mir, 1985.

   
   

7. Kuznesov A.V., Sakovich V.A., Xolod N.I. Visshaya matematika. Matema­ticheskoye programmirovaniye, Izd-vo: Visheyshaya shkola, 2001 g., 352 str.

   
   

2.