T. I. Umarov s. I. Xudoyberdiyev iqtisodiy matematik usullar va

mavzu. Iqtisodiy jarayonlarda optimallashtirish usullarini qo’llash. Transport masalasi Reja:

1. Transport masalasining qo’yilishi va uni yechish usullari.

   
   

2. Transport masalasiga keltiriladigan iqtisodiyotning ba’zi masalalari va ularni yechish.

   
   

3. Parametrli chiziqli dasturlash masalalari.

   
   

4. Butun sonli dasturlash masalasining qo’yilishi va uni yechish usuli.

   
   

1. Transport masalasining qo’yilishi va yechish usullari.

   
   

Hozirgi paytda transport masalasi modeli nazariyada ham, har xil iqtisodiy jarayonlarni rejalashtirishda ham keng qo’llanilmoqda. Ayniqsa, muhim bo’lgan sanoat va qishloq xo’jalik mahsulotlarini ratsional yetishtirib berishda, hamda katta yuklar oqimini tashishda va boshqa transport ishlarini optimal rejalashtirishda katta ahamiyatga egadir.

1. Masalaning qo’yilishi va matematik modeli. Bir jinsli mahsulot m ta Д. (i = 1,m) ta’minlovchilarda mos ravishda a_i (i = 1, m) birlik miqdorda bo’lsin, shu mahsulotlarni n ta iste’molchilarga mos ravishda b_} (j = 1, n) birlik miqdorda

   
   

yetkazib berish kerak bo’lsin, i-ta’minlovchidan j-iste’molchiga tashish harajati C aniq bo’lsin. Yukni tashishni shunday rejalashtirish kerakki, hamma

iste’molchilarning talabi qondirilib tashishga ketgan harajat minimal bo’lsin. x.

• i-ta’minlovchidan j - iste’molchiga rejalashtirilgan yukning miqdori bo’lsin. Bu holda masala shartini quyidagi jadval ko’rinishida yozish mumkin.

  
  

1-jadval

Ta’minlovchilar	Iste’molchilar				Zahiralar
	Vi	V2		Vn
Ai	Kii xii	2 ^i 2 i xi		n ^i n i xi	ai
A2	i 2 i 2 x2	2 2 2 2 x2		2^n n 2 x2	a2
Am	Km1 xm1	Km2 xm2		Kmn xmn	am
Talablar	bi	b2		bn	Z ^aj = Z^b.

Bu jadvalga rejalashtirish matritsasi deyiladi.

Masalaning matematik modelini tuzamiz. i - ta’minlovchidan j - iste’molchiga rejalashtirilgan yukning miqdori x. yuk birligida bo’lganligi uchun, tashish bahosi C_jx_j bo’ladi. Butun rejalashtirish bahosi quyidagi yig’indidan iborat bo’ladi:

m n

^F=ZZ ^C jx j.

i=1 j=1

Cheklash shartlari sistemasi quyidagicha bo’ladi:

n

1. hamma yuk tashilishi kerak, ya’ni Zx_j = a (i = 1,2,...,m)

   
   

j=1

bu tenglamalar yuqoridagi jadval satrlaridan olinadi;

2. hamma talablar qanoatlantirilishi kerak, ya’ni

   
   

m

Z^xj = ^bj^(j = ^1,,,n),

i=1

bu tenglamalar jadvaldagi ustunlardan olinadi.

Shunday qilib, transport masalasining matematik modeli quyidagicha bo’ladi:

mn

F = ZZ C_jx_j chiziqli funksiyaning

i=1 j=1 n

Z ^xj = ^ai⁽ⁱ =^{1 m), (1)}

j=1 m

Z ^xj = ^bJ ^(j = ^{n), (2)}

i=1

x_tj > 0, (i = 1,2,...,m, j = 1,2,...,n)

cheklash shartlar sistemasini qanoatlantiradigan, eng kichik qiymatini toping. Qaralayotgan modelda

mn

Za =Z^bs ⁽³⁾

i=1 j=1

bo’ladi. Bunday modelga yopiq model deyiladi.

Teorema: Zahiralar jami miqdori talablar jami miqdoriga teng bo’lgan istalgan transport masalasi yechimga ega.

2. tenglik bajarilmasa, ya’ni

   
   

mn

Z a *Z ^bj

i=1 j=1

bo’lsa, transport masalasining ochiq modeli kelib chiqadi. Bunda ikki hol bo’lishi mumkin: a) ta’minlovchilardagi yuklar jami miqdori, iste’molchilar jami talabidan kam bo’lishi, ya’ni

mn

Za ^bj^;

i=1 j=1

2. ta’minlovchilardagi yuklarning jami miqdori, iste’molchilar jami talabi miqdoridan ko’p bo’lishi, ya’ni

   
   

mn

Z a >Z ^bj.

i=1 j=1

Ikkala holda ham, birinchisida soxta ta’minlovchi, ikkinchisida soxta iste’molchi kiritish bilan masalani transport masalasining yopiq modeliga keltirish mumkin.

Birinchi holda, yuk miqdori

nm

Z ^b.-Z ^ai

j=1 i=1

ayirmaga teng, soxta ta’minlovchi, ikkinchi holda esa talab miqdori

mn

Z ^ai ^-Z ^bj

i=1 j=1

ayirmaga teng bo’lgan soxta iste’molchi kiritib, yopiq modelga kelamiz. Bunda soxta ta’minlovchidan yuklarni tashish harajati sifatida soxta ta’minlovchi satrida, bir xil bo’lgan istalgan sonni olish mumkin. Odatda ularni 0 deb olinadi. Soxta iste’molchi ustunida ham tashish harajati sifatida bir xil ixtiyoriy sonni olish mumkin, bu yerda ham odatda 0 olinadi.

Transport masalasining ochiq modelida optimal yechim topilgandan keyin mavjud bitta yoki bir nechta iste’molchining talabi ta’minlanmay qoladi, xuddi shuningdek, ikkinchi holda, mavjud yuklarning ortig’i bir yoki bir necha ta’minlovchida taqsimlanmay qoladi.

Transport masalasining (1) va (2) shartlar sistemasini qaraymiz. Bu sistema m • n noma’lumdan va (3) munosabat bilan bog’langan m + n tenglamalardan iborat. (1) va (2) sistemalarni alohida hadlab qo’shsak ikkita bir xil tenglama hosil qilamiz. 1-jadvalda bunday qo’shish ustunlarni va satrlarni hadlab qo’shish, bilan teng kuchlidir. Cheklash shartlar sistemasida ikkita bir xil tenglamalarning bo’lishi, ularning chiziqli bog’langanligini bildiradi. Bulardan birini hisobga olmasak shartlar sistemasi m + n -1 chiziqli bog’lanmagan tenglamalarni o’z ichiga oladi. Demak, boshlang’ich mumkin bo’lgan bazis yechim m + n -1 bazis o’zgaruvchisini o’z ichiga olishi kerak. Boshlang’ich rejani tuzishning bir necha usullari mavjud.

2. . Shimoliy-g’arbiy burchak usuli.

   
   

Bu usulda x_ij larning qiymatini aniqlash shimoliy-g’arbiy burchakdan

boshlanadi. x. = min(a₁₃ b₁) olinib, bu yerda 3 ta hol bo’lishi mumkin: a) a_{1 1} bo’lsa, x₁₁ = a₁ bo’lib, i = 1 satr keyin qaralmay, birinchi iste’molchining talabi a₁ ga kamayadi;

2. 
   
   a₁ > b₁ bo’lsa, x₁₁ = b₁ bo’lib, j = 1 ustun keyin qaralmaydi va birinchi ta’minlovchidagi yuk b₁ ga kamayadi;
   

v) a₁ = b₁ bo’lsa, x₁₁ = a₁ = b₁ bo’lib, i = 1 satr va j = 1 ustun keyin qaralmaydi, bu variant maxsus rejaga olib keladi. Oxirgi qadamda bitta satr va bitta ustun qolib, u to’ldirilib jarayon tamom bo’ladi.

Ma’lumki, olingan yechimda to’ldirilgan katakchalar soni m + n -1 bo’lishi kerak, shuning uchun ham bu rejada uni tekshirib ko’rish kerak bo’ladi. Agar bu shart bajarilmasa, ya’ni to’ldirilgan katakchalar soni m + n -1 dan kam bo’lsa, olingan plan maxsus bo’lib, bunda eng kam baholi katakchalarga 0 qo’yish bilan ular sonini m + n -1 ga yetkaziladi. 0 larni qo’yishda jadvalda hamma uchlari to’ldirilgan to’g’ri to’rtburchaklar bo’lmasligi kerak. Masalan, x₁₁, x₁₂, x₂₁, x₂₂ yoki x₁₁, x_1n, x₂₁, x_2n lar birdaniga to’ldirilmasligi kerak.

3. Transport masalasini taqsimot usuli bilan yechish. Transport masalasini bu usul bilan yechishni sonli misolda qaraymiz. Transport masalasi 1-jadval

   
   

bilan berilgan bo’lsin.

1-jadval.

Ta’minlovchilar	Zahiralar	Iste’molchilar