Takrorsiz va takroriy o’rinlashtirishlar

Teorema
Tushunchalarning asosiy bo'lmagan va ta'rifga kiritilmagan xossalari odatda isbotlanadi.
Tushunchaning isbot qilinadigan xossalari teoremalar deyiladi. Ular har xil ko'rinishda isbotlanishidan qat'i nazar isbotlanishni talab qiladigan fikrlardir.
Shunday qilin, teorema bu a xossadan b xossaning kelib chiqishi haqidagi fikr. Bu fikrning chinligi isbotlash yo'li bilan aniqlanadi.
Teoremaning qismlari
Teoremaning sharti;Teoremaning xulosasi;Tushuntirish qismi
Teoremaning sharti va xulosasi o'rni almashsa, berilgan teoremaga teskariteorema hosil bo'ladi.
Teoremaning sharti va xulosasi ularning inkorlari bilan almashtirilsa, berilgan teoremaga qarama-qarshiteorema hosil bo'ladi:
Mavzu: Algebraik operatsiyalar.
Agar X to'plamdan olingan har bir (x; y) juftlikka
yana shu to ‘plamdan z element mos kelsa, u holda bu moslik X da berilgan binar algebraik operatsiyadeyiladi, ya’ni ( (x; y )єX , zєX)((x ; y) = z).
Misol. Qo‘shish N to‘plamda algebraik operatsiya bo‘ladi.
Haqiqatan ham, ( (a; b)є N, ссN )(a + b = c).
Agar X to ‘plamdan olingan ba ’zi (x; y) — juftliklarga shu to'plamdan bitta z element mos kelsa, u holda bu moslikqisman algebraik operatsiyadeyiladi, ya’ni
( (x;y)єX, zєX )((x ; y) = z).
Masalan, ayirish va bo'lish N da qisman algebraik operatsiya
bo'ladi.
A
E
E
A
E
A
Algebraik operatsiyaning xossalari
X to'plamda * va • algebraik operatsiyalari berilgan bo'lsin.
Agar X to ‘plamdan olingan istalgan x, y, z elementlar uchun (x * y) * z = x *(y * z) shart bajarilsa , u holda «*» operatsiyasi assotsiativ deyiladi, ya’ni ( x, y, zєX)((x*y)*z= x*(y*z)).
Masalan, «+» operatsiyasi N da assotsiativ algebraik operatsiyadir. Chunki
( a, b, cєN )((a+b)+c = a + (b + с)).