Taqqoslamalar va ularning tadbiqlari

Birinchi darajali taqqoslamalar yechish usullari.
Bir noma’lumli birinchi darajali taqqoslamani yechishning ba’zi usullari bilan tanishib chiqaylik. Faraz qilaylik, bizga (1) taqqoslama berilgan bо‘lsin.
1. Tanlash usuli (1) taqqoslama bu usul orqali yechish uchun taqqoslamadagi о‘rniga chegirmalarning tо‘la sistemadagi barcha chigirmalar ketma –ket qо‘yib chiqiladi. Ulardan qaysi biri tо‘g‘ri taqqoslamaga aylantirsa, usha yechim bо‘lim hisoblanadi. Biz oldingi temadagi ikkita misolni shu usulda yechishdik. Ammo taqqoslama moduli ancha katta bо‘lganda bu sul unga samara bermaydi.
2. Koeffetsentlarni о‘zlashtirish usuli. Taqqoslamani bu usul orqali yechish uchun taqqoslamalarning xossalaridan foydalanib noma’lum oldidagi koeffitsentni va ni shunday о‘zgartirish kerakki о‘ng tomonda hosil bо‘lgan son ning koeffitsentiga bо‘linsin.
Agar bо‘lsa, yangi о‘zgaruvchiga о‘tish maqsadga muvofiq bо‘ladi. ⁴
1. Misollar.


3. Eyler teoremasidan foydalanish. Bizga ma’lumki, agar bо‘lsa u holda edi.
Buning har ikkala tomonini ga kо‘paytirsak deb yozish mumkin. Oxirgi taqqoslamani bilan solishtirib,
ekanligiga
ishonch hosil qilish mumkin. Ammo misollar yechimida ifodani model bо‘yicha eng kichik chegirmaga keltirish lozim.
Misol.

Mabodo taqqoslamaning moduli yetarlicha katta bо‘lsa, yuqoridgi usullarining birortasi ham uncha samara bermaydi. Bnday taqqoslamalarni yechish uchun quyidagi usuldan foydalanamiz.
4. Uzluksiz kasrlardan foydalanish usuli. Bizga quyidagi (1) taqqoslama berilgan bо‘lsin, bunda kasrni uzluksiz kasrga yoyib, uning sunosib kasrlarini deb belgilaymiz. Bu kasr qisqarmas kasr bо‘lganidan u holda tenglik shaklini oladi. Bu tenglikdan yoki ni hosil qilamiz. Oxirgi taqqoslamani ikkala tomonini ga kо‘paytramiz: (2) Bu oxirgi (2) va (1) formuladan (3) hosil qilamiz. Bunda son kasrning munosib kasrdagi suratdan iborat. Dastlabki (1) taqqoslamani yagona yechimga ega bо‘lgani uchun ham (3) yechim (1) taqqoslamaning yechimi bо‘ladi.
Misol. taqqoslama yechilsin. bо‘lgani sababli taqqoslamaning moduli va ikkala qismini 3 ga bо‘lamiz: Endi kasrni munosib kasrlarga yoyamiz.
Demak,
bо‘lib,

	0	3	4	7	1	2
	1	3	13	97	107	308

.
Berilgan taqqoslamaning yechimlari dan iboratdir.
1-misol. a=2511 sonini 6=123 ga bo‘lgandagi qoldiqni toping.
Yechish- Qoldiqli bo‘lishi haqidagi teoremadan foydalanib
a—bq+r, 0 < r< b ifodani topamiz: 2511=123 • 20+51
Demak, a=2511 ni 6=123 ga bolganda r = 51 qoldiq qoladi.
2-misol. a=25¹¹²ni 16 ga bo‘lgandagi qoldiqni toping.
Yechish. a=25¹¹²ni sonini 16 ga bo‘lish uchun taqqoslamaning
xossalaridan foydalanamiz. 25=16-1+9 ekanligidan 25=9(modl6)
kelib chiqadi. Bundan
25¹¹²=9¹¹²=(9²)⁵⁶=8 1⁵⁶. 81=16 • 5+1 ekanligini e’tiborga olsak, u holda 25 ¹¹²=81⁵⁶= 1⁵⁶= 1 (mod 16).
Demak, 25¹¹² ni 16 ga bo‘lganda 1 qoldiq qoladi.
3-misol. Agar 100a+100b>+c = 0 (mod 21) bo‘lsa, u holda a — 2b + 4c = 0 (mod 21) ekanligini isbotlang.
Isbot. Taqqoslamaning ikkala tomonini modul bilan o‘zaro
tub 4 songa ko‘paytiramiz: 400a+40b+4c = 0 (mod 21).
400=21 ■ 19+1, 40=21 • 2+(—2), 4=21 • 0+4 lardan foydalanib, quyidagi taqqoslamalami yozamiz :
400a = a (mod21), chunki 400a — a = 399a :21;
40b = -2b (mod 21), chunki 40b - {-2b) = 42b : 21;
4c = 4c (mod 21), chunki 4c — 4c = 0 : 21.
Berilgan taqqoslamadan yuqoridagi taqqoslamalami e’tiborga
olib, 400a+40b+4с = a — 2b + 4c (mod 21) taqqoslamani hosil
qilamiz.
Demak, 400a+40b+4c = 0 (mod 21) shartdan a-2b+4c = 0 (mod21) kelib chiqadi.
4-misol. 2x= 5 (mod 9) taqqoslamaning yechimlarini tanlash usuli yordamida toping.
Yechish. 9 modul bo‘yicha 0, ±1, ±2, ±3, ±4 chegirmalar
sinflaridan (2;9)=1 bo‘lganligi uchun berilgan taqqoslamaning
yagona yechimini topamiz:
2 -0 = 0 * 5 (mod 9);
2• 1 = 2 * 5 (mod 9);
2 • (-1) = - 2 * 5 (mod 9);
2 •2 = 4 * 5 (mod 9);
2 • (-2 ) = -4 = 5 (mod 9).
Demak, x= — 2 (mod 9), ya’ni x= 7 (mod 9) berilgan taqqoslamaning yechimi.
Tekshirish: 2 •7 — 5 = 14 — 5 = 9 :9.
5-misol
27x = 24 (mod 102) taqqoslamaning yechimlarini
Eyler metodidan foydalanib toping.
Yechish. (27,102)=3 va 24=2-8. Demak, taqqoslama 3 ta yechimga ega. Berilgan taqqoslamaning ikkala qismi va modulni 3ga bo‘lamiz: 9x = 8 (mod 34).
Bunda a = 9, m=34, b = 8 bo‘lgani uchun x = b•a^ф{m) (mod m)
dan x = 8 • 9^ф(34)-1 (mod 34) ga ega boiamiz.
ф(34) = 2 • 17 |l -½ |l -⅐|= 16 ekanligini e’tiborga olamiz:
x = 8• 9¹⁵ = 8• 9• 9¹⁴ = 4 ( 9² )⁷ = 4• 13⁷= 4•13⁷= 4•1 3• (13²)³=
= 18 • ЗЗ³ = 18 • 33 • (33)² = 16•1² =16 (mod 34).
Bundan x = 16 (mod 34) ga ega bo‘lamiz.
Tekshirish: 9 • 16 - 8 = 136 :34. U holda 27x = 24 (mod 102)
taqqoslama
x = 16 (mod 102),
x = 16 + 34 (mod 102),
x = 16 + 34 • 2 (mod 102) yechimlarga, ya’ni
x = 16 (mod 102),
x = 50 (mod 102),
x = 84 (mod 102) yechimlarga ega.
Tekshirish: 27 • 16 - 24 = 408 : 102;
2 7 - 5 0 - 2 4 = 3126:l02;
27 • 84 - 24 = 2244 :102.