Taqqoslamalar va ularning xossalari. Reja

Taqqoslamalar va ularning xossalari.


Reja.

1. 
   Taqqoslama tushunchasi.
   
2. 
   Taqqoslamaning xossalari.
   

Tayanch so’zlar: Teng qoldiqlar, taqqoslama tushunchasi, taqqoslamaning xossalari.
Ma’lumki, qoldiqli bo`lish haqidagi teoremaga asosan har qanday ikkita a, m>0 butun son uchun shunday yagona 𝑞₁ va r sonlar topiladiki, ushbu
𝑎 = 𝑚𝑞₁ + 𝑟 (1) tenglik bajariladi, bu yerda 0 ≤ r < m
Biror 𝑞₂ butun son uchun

𝑎 = 𝑚𝑞₂ + 𝑟 (2)

tenglik o`rinli bo`lgan b sonni olaylik. (1) va (2) tengliklar a va b sonlarini

m ga bo`lganda bir xil qoldiq qolishini bildiradi.


T a’ r i f. Agar ikkita butun a va b sonni m natural songa bo`lganda hosil bo` lgan qoldiqlar o`zaro teng bo`lsa, u holda a va b sonlarini m mo`dul bo`yicha teng qoldiqli sonlar, yoki m mo`dul bo`yicha taqqoslanuvchi sonlar deyiladi.
Agar a va b sonni m mo`dul bo`yicha taqqoslansa, u holda quyidagicha belgilanadi:
𝑎 Ξ 𝑏(𝑚𝑜𝑑𝑚) (3)

3. 
   ni a va b sonni m mo`dul bo`yicha o`zaro taqqoslanadi deb o`qiladi.
   

Endi (1) dan (2) ni ayiraylik, u holda 𝑎 − 𝑏 = 𝑚(𝑞₁ − 𝑞₂) yoki


a –b = mt (𝑡 = 𝑞₁ − 𝑞₂ ) (4)

tenglik hosil bo`ladi.

Yuqoridagi hulosalarni yakunlab quyidagi hulosalarni chiqarish mumkin:

1. 
   m modul bo`yicha taqqoslanuvchi sonlarning ayirmasi m soniga bo`linadi.
   
2. 
   Agar a = b + mt bo`lib b ni m ga b o`lgandagi qoldiq r ga teng bo`lsa, a ni ham m ga bo`lgandagi qoldiq r ga teng bo`ladi.
   

Haqiqattan, b = m q₁ + r ni a = b + mt ga qo`yamiz.
U holda a = m q<sub>1</sub> + r + mt = m (q<sub>1</sub>+ t ) +r = m q<sub>2</sub> + r, yani a = m q<sub>2</sub> + r bo`ladi. Demak a = m q₂ + r bo`lib, a ni m ga bo`lgandagi qoldiq ham r ga teng ekan .
Shunday qilib, a ≡ b ( mod m ) taqqoslamani a –b = mt va a = b + mt tengliklar bilan bir xil deyish mumkin.
Agar a = b + mt bo`lsa, u holda uni a ≡ r ( mod m ) kabi yozish ham mumkin.

3. 
   Agar a/m bo`lsa, uholda a ≡ 0 ( mod m ) bo`ladi. Taqqoslama quyidagi xossalarga ega:
   

1° . Taqqoslama ekvivalent binar munasabat.

1. 
   a ≡ a ( mod m ) , chunki a – a = 0 bo`lib, 0 son m gab o`linadi. Demak, taqqoslama refleksivlik xossasiga ega.
   
2. 
   a ≡ b ( mod m ) yoki a –b = mt bo`lsin. Bundan b – a = m (-t) tenglikni yozish mumkin . U holda b – a ≡ 0 ( mod m ) yoki b ≡ a ( mod m ). Demak, taqqoslama simmetriklik xossasiga ega.
   
3. 
   Agar a ≡ b ( mod m ) va b ≡ c ( mod m ) bo`lsa, u holda a ≡ c ( mod m ) bo`ladi. Haqiqatan, a = b + mt₁ , b = c + mt₂ tengliklarni hadlab qo`shsak, a –c = mt tenglik hosil bo`ladi. Bunda t = t₁ + t_2. U holda a ≡ c ( mod m ) bo`ladi. Demak taqqoslama tranzitivlik xossasiga ega. Ekvivalentlik va binar munosabatlari tarifiga ko`ra, taqqoslama ekvivalent binar munosabat ekan.
   

2° . Bir xil mo`dulli taqqoslamalarni xadlab qo`shish (ayirish) mumkin.
Xaqiqatan ham, a₁ ≡ b₁ ( mod m ),
a₂ ≡ b₂ ( mod m ),
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a_k ≡ b_k ( mod m )
bo`lsa, u holda ularni a₁ ≡ b₁+ mt₁ ,
a₂ ≡ b₂ + mt₂ ,


. . . . . . . . . . . .


a_k ≡ b_k + mt_k (5)
kabi yozish mumkin. Bu tengliklarni hadlab qo`shib (ayirib)
a<sub>1</sub> ± a<sub>2</sub> ± a<sub>3</sub> ± . . . ± a<sub>k</sub> = b<sub>1</sub> ± b<sub>2</sub> ± b<sub>3</sub> ± . . . ± b<sub>k</sub> ± m (t<sub>1</sub> + t<sub>2</sub> + t<sub>3</sub> + . . . + t<sub>k</sub>) y o k i
a<sub>1</sub> ± a<sub>2</sub> ± a<sub>3</sub> ± . . . ± a<sub>k</sub> = b<sub>1</sub> ± b<sub>2</sub> ± b<sub>3</sub> ± . . . ± b<sub>k</sub> ± mt (6) tenglikga ega bo`lamiz (4) ni
a₁ ± a₂ ± a₃ ± . . . ± a_k =b₁ ± b₂ ± b₃ ± . . . ±b_k (mod m) ko`rinishda ham yozish mumkin.

1. 
   natija. Taqqoslamaning bir qismidagi sonni ikkinchi qismiga qarama-qarshi ishora bilan o`tqazish mumkin. Haqiqatan,
   

a + b ≡ c ( mod m ) (7)
taqqoslama berilgan bo`lsa, unga -a ≡ -a ( mod m ) taqqoslamani qo`shsak,
b ≡ c-a ( mod m ) taqqoslama hosil bo`ladi.

2. 
   natija. Taqqoslamaning ixtiyoriy qismiga modulga karrali sonni qo`shish mumkin. Haqiqatan, a ≡ b ( mod m ) taqqoslama berilgan bo`lsa, bu taqqoslamaga mk ≡ 0 ( mod m ) taqqoslamani qo`shsak, a+mk ≡ b ( mod m ) taqqoslama hosil bo`ladi.
   

3°. Bir xil mo`dilli taqqoslamalarni hadlab ko`paytirish mumkin. Haqiqatan,
(5) dagi tengliklarni hadlab ko`paytirib,
a<sub>1</sub>·a<sub>2</sub>· a<sub>3</sub> · . . . · a<sub>k</sub> =b<sub>1</sub> · b<sub>2</sub> · b<sub>3</sub> · . . . · b<sub>k</sub>+mA
tenglikga ega bo`lamiz. Bunda
A= b₁ b₂ b₄ . . . b_kt₂ + b₁ b₃ b₄ . . . b_kt₁ + . . .
bo`lib
a<sub>1</sub>a<sub>2</sub> a<sub>3</sub> . . . a<sub>k</sub> =b<sub>1</sub> b<sub>2</sub> b<sub>3</sub> . . . b<sub>k</sub> ( mod m ) (8) taqqoslama o`rinli.
N a t i j a. Taqqoslamalarning ikkala qismini (modulni o`zgartirmay) bir xil musbat butun darajaga ko`tarish mumkin.
Haqiqatan ham, b₁ = b₂ = b₃ = . . . = b_k = b, a₁ = a₂ = a₃ = . . . =a_k bo`lsa u holda (8) ga ko`ra a^k ≡ b^k ( mod m ) taqqoslama hosil bo`ladi.
4° Modulni o`zgartirmagan holda taqqoslamaning ikkala qismini bir xil butun songa ko`paytirish mumkin.
Haqiqatan, a ≡ b ( mod m ) taqqoslamani k ≡ k ( mod m ) taqqoslama bilan hadlab ko`paytirish natijasida ak ≡ bk ( mod m ) ga ega mo`lamiz.
5° . Agar x ≡ y ( mod m ) bo`lsa, u holda ixtiyoriy butun kaeffisientli f (x) va f (y) ko`phadlar uchun f (x) ≡ f (y) ( mod m ), yani
a<sub>0</sub> x<sup>n</sup> +a<sub>1</sub> x<sup>n-1</sup> + . . . + a<sub>n</sub> = a<sub>0</sub> y<sup>n</sup> + a<sub>1</sub> y<sup>n-1</sup> + . . . + a<sub>n</sub> ( mod m ) ( a<sub>i</sub> ϵ Z) taqqoslama o`rinli bo`ladi.
I s b o t. x ≡ y ( mod m ) bo`lganidan 3-xossagadagi natijaga asosan
X^k ≡ y^k ( mod m ) (10)
(10) ning ning ikkala qismini 4-xossaga ko`ra a<sub>n-k</sub> ga ko`paytiramiz. Natijada
a_n-k x^k ≡ a_n-k y^k ( mod m ) ( k = 0, n ) taqqoslamalar hosil bo`ladi. Bulardan esa 2-xossa yordamida quyidagi taqqoslamani topamiz:

a₀ xⁿ +a₁ x^n-1 + . . . + a_n = a₀ yⁿ + a₁ y^n-1 + . . . + a_n ( mod m ).
6°. Agar bir vaqtda a_i ≡ b_i ( mod m ) ( I = 1, n ) va x ≡ y ( mod m ) taqqoslamalar o`rinli bo`lsa, u holda
a₀ xⁿ +a₁ x^n-1 + . . . + a_n = b₀ yⁿ + b₁ y^n-1 + . . . + b_n ( mod m ) taqqoslama o`rinli bo`ladi.