Ta’rif. Agar element uchun ko’phadning qiymati bo’lsa, elementga ko’phadning ildizi deyiladi. Bizga uchun bosh koeffisiyenti 1 ga teng bo’lgan chiziqli ko’phad berilgan bo’lsin. Teorema

Teorema. Darajasi bo’lgan ko’phadkamida bitta ildizga ega bo’ladi.
Bizga darajasi bo’lgan ko’phad
(1)
ko’rinishda berilgan bo’lsin. Ildizning mavjudligi haqida asosiy teoremaga ko’ra ko’phad ildizga ega bo’lsin. U holda

yoyilma o’rinli bo’lib, tengdir. Agar bo’lsa, u holda yana asosiy teoremaga ko’ra ko’phad qandaydir bitta ildizga ega bo’ladi va demak

bo’lib,

tenglikni hosil qilamiz. Shu yo’sinda davom etsak, qadamdan so’ng ko’phadning chiziqli ko’paytuvchilar ko’paytmasi shaklidagi yoyilmaga kelamiz:
. (2)
Shunday qilib, biz quyidagi natijaga keldik:
Natija. Darajasi teng bo’lgan har qanday ko’phad maydonda ta ildizga ega bo’lib,

yoyilma Bilan ko’paytuvchilarining tartibi aniqligida yagonadir.
Isbot. Ko’phadning ta ildizga ega bo’lishligi hosil bo’lgan yoyilmadan ko’rinib turibdi. Yoyilmani yagonaligini ko’rsatamiz. Teskarisidan faraz qilamiz, ya’ni yana bir
(3)
yoyilmaga ega bo’lsin. (2) va (3) larning chap tomonlari tengligidan
(4)
tenglik kelib chiqadi. Agar , bo’lsa, u holda (4) tenglikni chap tomoniga qo’yib nolni, o’ng tomonida esa noldan farqli son hosil bo’ladi va demak lar larga indekslarini joylashish tartibi aniqligida tengdir. Bu yerdan ham (2) va (3) yoyilmalarning tengligi kelib chiqmaydi, chunki larning orasida tenglari bo’lishi mumkin. Masalan, bu ildizlarning 8 tasi ga teng bo’lsin va ikkinchi tomondan ildizlar ichida ga teng bo’lgan ta ildiz mavjud bo’lib, bo’lsin. Faraz qilaylik, bo’lsin. U holda (4) tenglikni ikkala tomonidan ko’phadga qisqartirib (yoki tashlab) yuborsak (bunday qilishimiz mumkin, chunki halqa butun sohali halqadir, ya’ni bu halqada kelib chiqadi, buni biz mavzu 28 da umumiy holda ko’rsatib o’tgan edik), u holda tenglikning chap tomonida ko’paytuvchi qatnashmaydi, o’ng tomonda esa, u shaklda qatnashadi. Biroq yuqorida bu qarama-qarshilikga olib kelishini ko’rsatgan edik.
Bir xil ko’paytuvchilarni jamlab, (2) yoyilmani
(5)
shaklgaolibkelishmumkin, buyerda
va
ildizlar orasida tenglari yo’q. Hosil bo’lgan (5) formulaviy tenglikda ildiz ko’phadning karrali ildizi va agar bo’lsa, oddiy ildizlari bo’ladi.
Yuqoridagi mulohazalardan quyidagi natijani hosil qilamiz:
Natija. Agar darajalari dan oshmaydigan va ko’phadlar noma’lumning turli xil ta qiymatlarida teng qiymatlarga ega bo’lsa, u holda bo’ladi.
Isbot. Haqiqatan ham, ko’phad farazimizga ko’ra ta ildizga ega bo’lib, bo’lganligi sababli ko’phad ta ildizga ega bo’lishi mumkin emas va demak bo’ladi.
Bu natijadan biz istalgan n darajali ko’phadni koeffisiyentlari uning ta qiymatlar orqali yagona ravishda aniqlanishi mumkin degan xulosaga kelamiz.
Shuni ta’kidlaymizki, agar bizga ikkita va ko’phadlarning yoyilmalari
va
berilganbo’lsa, u holda ularning
EKUB
va EKUK
bo’lib, bu yerda va
bo’ladi. Shunday qilib, biz ko’phadlarni kanonik yoyilmasidan foydalanib, ularni eng katta umumiy bo’luvchisi bilan eng kichik umumiy karralilarini hisoblay olamiz.