Ta’rif. Agar element uchun ko’phadning qiymati bo’lsa, elementga ko’phadning ildizi deyiladi. Bizga uchun bosh koeffisiyenti 1 ga teng bo’lgan chiziqli ko’phad berilgan bo’lsin. Teorema

1-mavzu. Algebraning asosiy teoremasi va uning natijalari. V’eta formulalari.
Matematikada ko’phadlarni ildizlarini topish nazariy va Amaliy nuqtai nazardan muhim ahamiyat kasb etadi. Biz ushbu mavzuimizda ko’phadning ildizlari masalasin bayon etamiz.
Ta’rif. Agar element uchun ko’phadning qiymati bo’lsa, elementga ko’phadning ildizi deyiladi.
Bizga uchun bosh koeffisiyenti 1 ga teng bo’lgan chiziqli ko’phad berilgan bo’lsin.
Teorema. ko’phadni ga bo’lishdan chiqqan qoldiq shu ko’phadning dagi qiymatiga teng bo’ladi.
Isbot. ni ga qoldiqli bo’lib, (1)
hosil qilamiz. Bunda bo’lganligidan nolinchi darajali ko’phad bo’ladi va demak (1) ni
(2)
ko’rinishda yozishimiz mumkin. Bu tenglikda desak, ni hosil qilamiz.
Bu teoremadan quyidagi muhim natijani hosil qilamiz:
Natija. element ko’phadning ildizi bo’lishi uchun ni ga bo’linishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Faraz qilaylik, element ko’phadning ildizi, ya’ni bo’lsin. U holda ko’phadni ga bo’lgandagi qoldiq bo’ladi va demak tenglik o’rinlidir.
Aksincha, agar , u holda

tenglik o’rinli bo’lib, bu tenglikdan ni hosil qilamiz.
Shunday qilib, ko’phadning ildizlarini izlash uning chiziqli bo’luvchilarini izlash masalasiga teng kuchlidir. ko’phadni chiziqli ko’phadga qoldiqli bo’lish algoritmiga qaraganda ancha sodda va amalda keng qo’llanadigan Gorner usuli hisoblanadi.
Bizga
(3)
ko’phadva (2) tenglik berilgan bo’lsin.
(2) tenglikda bo’linmaniumumiyko’rinishga

shaklda olib, uni (2) ga olib qo’yamiz.
Hosil bo’lgan tenglikdagi ikala tomondagi ko’phadlarni ning bir xil darajalari oldidagi koeffisiyentlarini tenglasak:

tengliklarnihosilqilamiz. Bulardan

ekanligi kelib chiqadi, ya’ni koeffisiyent undan oldin keluvchi koeffisiyentni ga ko’paytirish va koeffisiyentga qo’shish bilan hosil bo’ladi va nihoyat

tenglikda qoldiq yoki ko’phadning dagi qiymati topiladi.
Ta’rif. Agar ko’phad ko’phadga bo’linib, ko’phadga bo’linmasa, ga ko’phadning nchi darajali ildizi, ga esa bu ildizning karralisi deyiladi.
Aytilganlardan, ya’ni dan

hosil bo’ladi, bu yerda element ko’phadni ildizi bo’lmaydi, ya’ni , chunki aks holda

hosil bo’lib, uni yuqori tenglikga olib borib qo’ysak,

hosil qilamiz, bu esa bildiradi. Agar bo’lsa, elementga ko’phadning oddiy ildizi deyiladi.