Ta’rif. Musbat yo’nalishlari mos ravishda

1-masala. , nuqtаlаr berilgаn kesmаni , , , nisbаtlаrdа bo’luvchi nuqtа kооrdinаtаlаrini tоping.
Yechish. Bu mаsаlаni echish uchun (1.3.4) vа (1.3.5) fоrmulаlаrdаn fоydаlаnаmiz.
; ; ;
; ; ;
; ; ;
; ; .
Tekislikda affin kооrdinаtаlаr sistemаsiga nisbatan ikkita A va B nuqtalar va haqiqiy son berilgan bo’lsin. Affin kооrdinаtаlаr sistemаsiga nisbatan berilgan nuqtalar A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) koordinatalarga AB kesmani nisbatda bo’luvchi nuqta N(x, y) koordinatalarga ega bo’lsin.
Bo’luvchi N nuqtani koordinatalarini * formulalardan foydalansak quyidagi
(1.3.6)
formula kelib chiqadi. Ushbu formula tekislikda affin koordinatalar sistemasida berilgan kesmani nisbatda bo’luvchi nuqta koordinatalarini topish formulasidir.
Hususiy holda, agar =1 bo’lsa, u holda N nuqta berilgan kesmani teng ikkiga bo’ladi, (1.3.6) formula quyidagi (1.3.7)
ko’rinishda bo’lib, uni tekislikda kesma o’rtasining koordinatalarini topish formulasi deyiladi.
2-masala. Uchlari A(1, 2), B(0, 5), C(-2, 3) nuqtalarda bo’lgan uchburchak medianalarining kesishgan nuqtasini toping.
Yechish. AD mediana D(x, y) nuqta BC tomon o’rta nuqtasi x_D=-1, y_D=4, D(-1, 4).
Uchburchak medianalar kesishgan nuqtasi O(x, y) bo’lsin, u holda

Demak, ( 23-chizma).

2. Vektorlarning berilgan bazisga nisbatan koordinatalari va ularning xossalari.

V₃ uch o’lchovli chiziqli fazo va uning bazis vektorlari berilgan bo’lsin, u holda ta’rifga ko’ra bu fazoning har bir vektorini
(2.2.2)
ko’rinishda yozish mumkin.
(2.2.2) ifodani vektorning bazis vektorlar bo’yicha yoyilmasi deyiladi.
Teorema. Vektor fazoning ixtiyoriy vektori tanlab olingan bazis vektorlarga nisbatan yagona yoyilmaga ega.
Isbot. Faraz qilaylik, vektor bazis vektorlar bo’yicha
(2.2.3)
yoyilmadan tashqari, ikkinchi bir
(2.2.4)

yoyilmaga ham ega bo’lsin. (2.2.3) tenglikdan (2.2.4) tenglikni hadlab ayirib quyidagiga ega bo’lamiz .

vektorlar chiziqli erkli bo’lgani uchun: , , . Bundan , , demak, yoyilma yagona.
₍2.2.3) yoyilmadagi x, y, z haqiqiy sonlar vektorning ( ) bazis vektorlarga nisbatan koordinatalari deyiladi va ko’rinishda yoziladi. Shunday qilib
1-natija. Nol vektorning har qanday bazisga nisbatan koordinatalari nolga teng: (0, 0, 0).
V₃ vektor fazoda va vektorlar o’zining bazis ( ) vektorlariga nisbatan ushbu koordinatalarga ega bo’lsin:


1. va vektorlarni qo’shamiz (ayiramiz):
.
Bu tenglikdan vektorlarni qo’shish (ayirish) xossalariga ko’ra
.
Bundan .
Demak, ikki vektor yig’indisining (ayirmasining) koordinatalari qo’shiluvchi (ayriluvchi) vektorlar mos koordinatalarning yig’indisidan (ayirmasidan) iborat.
2. ning songa ko’paytmasining, ya’ni vektorning koordinatalari
b o’ladi.
1-masala. ABCD tetraedrning qirralaridan iborat larni bazis vektor deb olib (8-chizma), ning shu vektorga nisbatan koordinatalarini toping.
Yechish. va belgilaymiz.
.
2-masala. va vektorlar berilgan. vektorlarning koordinatalarini aniqlang.
Yechish. vektor koordinatalar

bundan .