Tasodifiy miqdor va uning taqsimot funksiyasi

Aim.Uz

Tasodifiy miqdor va uning taqsimot funksiyasi

Tasodifiy miqdor tushunchasi ehtimollar nazariyasining muhim tushunchalaridan biri bo’lib, u elementar hodisalar fazosida aniqlangan sonli funksiya sifatida qaraladi.
1-misol. Tajriba tangani ikki marta tashlashdan iborat bo’lsin. Bu tajribaga mos elementar hodisalar , , , va elementar hodisalar fazosi .
Agar bilan gerb tushishlari sonini belgilasak,
, , ,
ya’ni ya’ni da aniqlangan funksiya bo’ladi.
Tanga simmetrik bo’lganligi uchun deb olib, ning ma’lum qiymat qabul qilish ehtimolligini ham toppish mumkin. Masalan, .
2-misol. Biror qurilmaning vaqt oralig’ida buzilmasdan ishlash vaqtini qaraymiz. Biz elementar hodisalarni ={qurilma momentgacha ishladi va momentda ishdan chiqdi}, kabi aniqlaymiz. Bu holda elementar hodisalar fazosi ko’rinishida bo’lib, kontinium quvvatga ega bo’ladi.
Agar bilan qurilmaning vaqt oralig’ida buzilmasdan ishlash vaqtini belgilasak, bo’ladi.
Ta’rif. ehtimollik fazosi, o’lchovli fazo (bu yerda , esa dagi Borel to’plamlari -algebrasi) bo’lib , , -o’lchovli funksiya bo’lsa, ya’ni ixtiyoriy uchun
(1)
bo’lsa, funksiyaga tasodifiy miqdor deyiladi.
Agar chekli bo’lsa, tasodifiy miqdorni uning barcha elementar hodisalardagi qiymatlarini keltirish bilan berish mumkin.
Masalan 1-misoldagi tasodifiy miqdor

	0	1	1	2

	0	1	2

yoki
Ta’rif. Agar tasodifiy miqdor chekli yoki sanoqli sondagi qiymatlarnigina qabul qilsa, unga diskret tasoifiy miqdor deyiladi.
Boshqacha qilib aytganda tasodifiy miqdor diskret deyiladi, agar sonlar ketma-ketligi mavjud bo’lib, , , va bo’lsa.
Agar barcha qiymatlar va ehtimolliklar ma’lum bo’lsa, ning taqsimot qonuni aniqlangan bo’ladi. Jadvalning birinchi qatorida diskret tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlarini, ikkinchi qatorga ularga mos ehtimolliklarni yozsak,

			…		…
			…		…

biz diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini qatoriga ega bo’lamiz.

Ixtiyoriy uchun masalan, yuqorida keltirilgan 2-misoldagi tasodifiy miqdorni bunday aniqlab bo’lmaydi. Bunday tasodifiy miqdorlarni aniqlash uchun ( ) hodisaning ehtimolligini bilish kerak, uning uchun esa , hodisa ehtimolligini bilish yetarli.
Ta’rif. , funksiyaga tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi deyiladi.
Endi taqsimot funksiyaning xossalari bilan tanishib chiqamiz.
1˚. . Bu xossa isboti ta’rifidan kelib chiqadi.
2˚. Agar a bo’lsa (2)
Isboti: a bo’lsa va
Bundan
3˚. Agar a bo’lsa ya’ni F(x)-kamaymaydigan funksiya.
Isboti: Agar a bo’lsa bundan .
4˚. va .
Isboti: va ketma-ketliklarni va bo’ladigan qilib tanlaymiz. U holda o’rinli ekanligini ko’rsatish yetarli.
va
bo’lganligi uchun uzluksizlik teoremasiga asosan

Bundan tashqari va bo’lganligi uchun uzluksizlik aksiomasiga asosan

Xossa isbotlandi.
5˚. chapdan uzluksiz.
Isboti. , ketma-ketlik bo’lsin bo’lishligini ko’rsatamiz. Quyidagi o’rinli bo’ladi.
va
bo’lgani uchun uzluksizlik aksiomasiga asosan
.
Xossa isbotlandi.
Agar bo’lsa, da sakrashga ega deyiladi.
6˚. Taqsimot funksiyaning sakrashlari soni sanoqlidan ko’p emas.
Isbot. Taqsimot funksiyaning dan katta sakrashlari bittadan ko’p bo’laolmaydi, dan gacha bo’lgan sakrashlari 3 tadan ko’p emas, dan gacha sakrashlari dan ko’p bo’lmaydi.
Bunday ko’rinishdagi taqsimot funksiyaning barcha sakrashlari tartiblab (nomerlab) chiqish mumkin.
Endi diskret tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasi uchun formula keltirib chiqaramiz.
Agar bo’lsa, , chunki bu holda hodisasi mumkin bo’lmagan hodisa bo’ladi.
Agar bo’lsa, hodisa faqat va faqat bo’lgandagina ro’y beradi, shuning uchun ham
.
Agar bo’lsa, hodisa va birgalikda bo’lmagan hodisalar yig’indisiga teng bo’ladi va
.
Xuddi shunday bo’lsa,
.
Shunday qilib, diskret tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi

formula bilan aniqlanadi.
Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi oraliqlarda o’zgarmas qiymatlar qabul qiladi va nuqtalarda mos ravishda ehtimollarga teng sakrashlarga ega bo’ladi.
Endi ma’ruza boshida keltirilgan 1-misoldagi gerb tushishlari soni tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini topamiz.
tasodifiy miqdorning taqsimot qatori

	0	1	2

ko’rinishda bo’ladi.

Agar bo’lsa, ; bo’lsa, ; bo’lsa, ; bo’lsa, .
Demak,
ning grafigi