Tasvir va original

Operatsion hisobning asosiy teoremalari

Bevosita ta’rif yordamida tasvirni topish har doim ham mumkin bo’lavermaydi, chunki hisoblanishi kerak bo’lgan integral murakkablashib ketishi mumkin. Biz Laplas almashtirishining shunday xossalariga to’xtalamizki, ular bir qancha sinfdagi funksiyalarning tasvirini topish imkonini beradi. Bundan tashqari ular tasvir ma’lum bo’lsa, originalni tiklash usullarini ifodalaydi.
2-Teorema. (Originalning yagonaligi) Agar va funksiyalarning
tasvirlari o’zaro teng bo’lsa, bu funksiyalar uzluksiz bo’ladigan barcha nuqtalarda ustma ust tushadi.
3-Teorema. (Chiziqlilik) Agar va bo’lsa, u
holda ixtiyoriy va kompleks sonlari uchun
(4)
►Ta’rif bo’yicha funksiyaning originalini integralning
chiziqliligidan foydalanib topamiz
◄
Chiziqlilik teoremasiga misol tariqasida funksiyaning tasvirini topamiz.

4-Teorema. (O’xshashlik) Agar bo’lsa, u holda ixtiyoriy uchun
(5)
► funksiyaning tasvirini hisoblash uchun, integralda almashtirish bajaramiz:

(5) munosabatni hosil qoldik.◄
5-Teorema. (Siljish) Agar bo’lsa, u holda
(6)
►Ta’rif bo’yicha ning tasvirini topamiz

◄
Demak, siljish teoremasiga ko’ra originalni ga ko’paytirish, tasvir argumentining qiymatga siljishiga olib kelar ekan. Bu teorema yordamida, agar funksiyaning tasviri ma’lum bo’lsa, funksiyaning tasvirini topish
mumkin. Masalan,


6-Teorema. (Originalni differensiallash) Agar va
bu originalning hosilalari bo’lsa, u holda

(7)
►Ta’rifga ko’ra

Bu integralni bo’laklab integrallaymiz:
, demak

funksiyaning o’sish tezligi dan katta bo’lganligi uchun da
. Shuning uchun .
ning tasvirini topish uchun bu usulni ikki marta qo’llaymiz. Agar
tasviri uchun bu usulni marta qo’llasak (7) formula kelib chiqadi. ◄
Agar bo’lsa, (7) formula soddalashib

ko’rinishga keladi. Xususan