Тасвирларни фрактал сиқиш

Fraktallarni matematik asoslari: Affin almashtirishlar

Fraktal siqishni matematik apparati matematik "afine" almashtirishlaridan foydalanishga asoslangan

• affin almashtirishlari (AP) ob'ektning tekislikdagi harakatini va uning aylanishlarini (harakatlarini), shuningdek uning cho'zilishi va siqilishini (masshtablash) va to'g'ri chiziqlarga nisbatan (tekislikda cho'zish-siqish) o'z ichiga oladi;
• affin almashtirishlarining muhim xususiyati bu figuralarning ba'zi xususiyatlarini saqlab qolishdir. Xususan, AP paytida to'g'ri chiziqlar to'g'ri chiziqlarga aylanadi, chiziqlarning egriligi va parallelligi, to'g'ri chiziqdagi segmentlar uzunligining nisbati va maydonlarning nisbati saqlanib qoladi;
• affin almashtirishlari uchun tasvirning nuqtalarini bir-biriga yaqinlashtiradigan siqib chiqaruvchi APlar keng qo'llaniladi. Xususan, ular takroriy rejimda ishlatiladi (avvalgi almashtirishlar bosqichining natijalari keyingisining dastlabki ma'lumotlari sifatida ishlatilganda). Siqishni o'zgartirishning oddiy misoli yk + 1 = 0.5yk protsedurasi bo'lishi mumkin. Keyinchalik siqib chiqaradigan AP-lardan foydalanishga qaytamiz.

Fraktallarning matematik asoslari: takrorlanadigan funktsiyalar tizimlari (TFT)

Affin almashtirishlar asosida tasvirlarni yaratish uchun "takrorlanadigan funktsiyalar tizimlari" (TFT) ishlatiladi -
xususan, a-rasmda "Sierpinski uchburchagi" deb nomlangan ketma-ket qurilish ko'rsatilgan. Bu erda teng qirrali uchburchak tomonlarining o'rta nuqtalari bir-biriga bog'langan va hosil bo'lgan to'rtta kichikroq uchburchakdan "ichki uchburchak" olib tashlangan. Ushbu protsedura har bir hosil bo'lgan uchburchak uchun takroriy ravishda takrorlanadi. Takrorlashlar davom etar ekan, raqam ozayib boraveradi, ya'ni qandaydir barqaror tasvirga moyil bo'ladi

b-rasmda bunday natijalarga olib keladigan TFT ko'rsatilgan. f1, f2 va f3 uchta funktsiyalarning har biri asl uchburchakni pastga tushiradi va natijani tegishli joyga qo'yadi - f1 uchun chap burchak, f2 uchun o'ng va f3 uchun yuqori (aniqlik uchun bu erda ranglar ishlatiladi). Ko'rib turganingizdek, affin almashtirishlar oddiy funktsiyalar yordamida amalga oshiriladi va uning parametrlari atigi 18 sonli koeffitsient bilan aniqlanadi;

• b-rasmda bunday natijalarga olib keladigan TFT ko'rsatilgan. f1, f2 va f3 uchta funktsiyalarning har biri asl uchburchakni pastga tushiradi va natijani tegishli joyga qo'yadi - f1 uchun chap burchak, f2 uchun o'ng va f3 uchun yuqori (aniqlik uchun bu erda ranglar ishlatiladi). Ko'rib turganingizdek, affin almashtirishlar oddiy funktsiyalar yordamida amalga oshiriladi va uning parametrlari atigi 18 sonli koeffitsient bilan aniqlanadi;
• • nihoyat, v-rasmda boshlang'ich rasm uchburchak emas, kvadrat bo'lsa, xuddi shu TFTdan foydalanish ko'rsatilgan. Qayta takrorlanishlar ketma-ketligi natijasida, manba "materiali" dan qat'i nazar, xuddi shu ko'rsatkich olinishi qiziq (va elementlarning kattaligi kichrayishi bilan vizual farqlar asta-sekin tekislanadi). Bu shuni anglatadiki, natijada olingan tasvir TFT parametrlari bilan to'liq aniqlanadi.